Парадокс маляра: відмінності між версіями

[неперевірена версія][неперевірена версія]
Вилучено вміст Додано вміст
граматична помилка
Немає опису редагування
Рядок 1:
[[Файл:Paradox_of_the_painter.jpg|thumb|right|180px|Нескінченна пластинка та фігура, утворена її [[обертання]]м]]
'''Парадокс ма́ляра'''  — математичний [[парадокс]], який стверджує, що фігуру з нескінченною [[площа поверхні|площею поверхні]] можна зафарбувати скінченною кількістю [[фарби]].
 
Розглянемо нескінченну ступінчату пластинку, що складається з [[прямокутник]]ів: перший із них  — [[квадрат]] зі стороною 1  см, другий має розміри 0,5 x 2  см, а кожен наступний вдвічі вужчий та вдвічі довший від попереднього. [[Площа]] кожного [[прямокутник]]а дорівнює 1 см², а загальна площа пластинки [[нескінченність|нескінченна]].
 
Щоб зафарбувати її повністю, необхідна нескінченна кількість фарби. Розглянемо тіло, що отримується при обертанні пластинки навколо її прямого нескінченного краю. Посудина складається з [[циліндр]]ів. [[Висота]] ''k''-го [[циліндр]]а дорівнює 2<sup>''к''-1</sup> см, [[радіус]] &nbsp;— 2<sup>1-''k''</sup> см, тобто його [[об'єм]] дорівнює 2<sup>1-''k''</sup><math> \pi </math> см³. Таким чином об'єми [[циліндр]]ів утворюють спадаючу [[Геометрична прогресія|геометричну прогресію]], їхня сума скінченна та дорівнює 2<math> \pi </math> см³.
 
Заповнимо дану посудину [[фарби|фарбою]] (скінченною кількістю). Опустимо у нього нескінченну пластинку та виймемо; вона буде зафарбованою скінченною кількістю фарби з обох сторін.
 
Спростування: Парадокс базується на відмінності математичного та повсякденного сприйняття предметів. Математичне тіло скінченного об'єму справді може мати нескінченну площу поверхні. В фізичному ж світі мінімальна товщина тіла задається розмірами атомів. Нехай "«пофарбовано"» означає "«покрити шаром фарби не менш ніж а г/м<sup>2</sup>"». Тобто, для фарбування згаданого тіла потрібно нескінченна маса фарби, а в циліндри увійде тільки скінченна кількість. В даному прикладі, фарба просто не затече в нижні надто вузькі циліндри.
 
== Див. також ==