Стояча хвиля: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
м робот додав: lt:Stovinčioji banga |
Немає опису редагування |
||
Рядок 21:
Наприклад, різні моди коливань затиснутої на кінцях [[струна|струни]] визначають її основний тон і [[обертон]]и.
==Математичний опис стоячих хвиль==
В одновимірному випадку дві хвилі одинакової частоти, довжини хвилі та амплітуди, що розповсюджуються в протилежних напрямках (напприклад назустріч одна одній), будуть взаємодіяти в результаті чого може виникнути стояча хвиля. Наприклад, гармонічна хвиля розповсюджуючись вправо, досягаючи кінця струни, продукує стоячу хвилю. Хвиля, що відбивається від кінця повинна мати таку саму амплітуду та частоту, як і падаюча хвиля.
Розглянемо падаючу та відбиту хвилі у вигляді:
:<math>y_1\; =\; y_0\, \sin(kx - \omega t)</math>
:<math>y_2\; =\; y_0\, \sin(kx + \omega t)</math>
де:
*''y<sub>0</sub>'' - амплітуда хвилі,
*<math>\omega </math> - циклічна (кутова) частота, що вимірюється в радіанах за секунду,
*''k'' - хвильовий вектор, вимірюється в радіанах на метр, і є <math>2\pi </math> поділений на довжину хвилі <math>\lambda </math>,
*''x'' та ''t'' - змінні для позначення довжини та часу.
Тому результуюче рівняння для стоячої хвилі ''y'' буде у вигляді суми ''y<sub>1</sub>'' та ''y<sub>2</sub>'':
:<math>y\; =\; y_0\, \sin(kx - \omega t)\; +\; y_0\, \sin(kx + \omega t).</math>
Використовуючи тригонометричні співвідношення, це рівняння можна переписати у вигляді:
:<math>y\; =\; 2\, y_0\, \cos(\omega t)\; \sin(kx).</math>
Якщо розглядати ноди <math>x = 0, \lambda /2, 3\lambda /2,... </math> та антиноди <math>x = \lambda /4, 3\lambda /4, 5\lambda /4,...</math>,
то відстань між сусудніми нодами/антинодами буде рівна половині довжини хвилі <math>\lambda /2</math> .
==Хвильове рівняння==
Для того, щоб отримати стоячі хвилі, як результат розв'язку однорідного диференційного хвитльового рівняння (Даламбера)
:<math>\nabla x - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 }{\partial^2 t} = 0</math>
необхідно відповідним чином задати його крайові умови (закріпити кінці струни, наприклад).
В загальному випадку неоднорідного диференційного рівняння:
:<math>\nabla x - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 }{\partial^2 t} = f_0x</math>,
де <math>f_0-</math> виконує ролю "сили" за допомогою якої здійснюється зміщення в певній точці струни), стояча хвиля виникає автоматично.
==Посилання==
* [http://www.lightandmatter.com/html_books/3vw/ch04/ch04.html Vibrations and Waves] - a chapter from an online textbook
* [http://www.youtube.com/v/Zkox6niJ1Wc&autoplay=1 Standing Waves experiment] Shows how the point moves with frequency change.
* [http://www.falstad.com/loadedstring/ Java applet] of standing waves on a vibrating string.
*[http://www.phy.hk/wiki/englishhtm/TwaveStatA.htm Java applet of transverse standing wave]
*[http://www.phy.hk/wiki/english
{{Physics-stub}}
| |||