Гільбертів простір: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
м →Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі: наказовий спосіб дієслова "розглядати" |
Олюсь (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
||
Рядок 40:
є комплексним гільбертовим простором. Якщо обмежитися лише послідовностями з [[дійсні числа|дійсними]] членами, то одержимо дійсний гільбертів простір. Те, що <math>(\mathbf{x},\mathbf{y})<\infty,</math> тобто ряд збігається — це неочевидний факт, що потребує доведення. Збіжність ряда випливає із [[нерівність Коші-Буняковського|нерівності Коші-Буняковського]], застосованої до перших <math>n</math> членів послідовностей <math>\mathbf{x}</math> і <math>\mathbf{y}.</math> Отож, отримуємо, що
У курсі [[функціональний аналіз|функціонального аналізу]] доводиться також, що простір <math>l^2</math> — повний і, таким чином, задовільняє всім аксіомам гільбертового простору.
2. Гільбертів простір <math>L^2[-\pi,\pi]</math> квадратично-інтегрованих за Лебегом функцій на відрізку <math>[-\pi,\pi]</math> утворюється з лінійного простору неперервних комплекснозначних функцій на цьому відрізку за операцією''' поповнення'''. Наведемо лише означення ермітового скалярного добутку на <math>L^2[-\pi,\pi]:</math>
== Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі ==
Рядок 58:
''' Координати''' вектора <math>w\in H</math> відносно данного ортонормального базису — це скаляри <math>a_i=(u_i,w), i\in I.</math> Вектор <math>w</math> повністю визначений своїми координатами і може бути формально розкладений за елементами ортонормального базису:
'''Сепарабельні''' гільбертові простори утворюють найважливіший клас нескінченовимірних гільбертових просторів. Вони можуть бути охарактеризовані як такі, в яких можна обрати ортонормальний базис із [[зліченна множина|зліченної множини]] векторів. Виявляється, що
Рядок 65:
Дійсно, розгляньмо відображення
яке будь-якому вектору <math>v\in H</math> ставить у відповідність послідовність його координат відносно ортонормального базису <math>\{u_n:n\in\N\}.</math> Тоді <math>L</math> — це лінійне відображення, і потрібно ще переконатися, що воно є ізометрією з образом <math>l^2.</math> Ці властивості випливають з наступної''' рівності Парсеваля'''.
== Рівність Парсеваля ==
Припустимо, що <math>\{u_1,u_2,\ldots\}</math> — це скінченна або зліченна ортонормальна система векторів у гільбертовому просторі <math>H.</math> Повнота цієї системи еквівалентна виконанню наступної рівності для всіх векторів <math>v \in H:</math>
де сума розповсюджується на всі елементи данної системи векторів. У будь-якому разі, ряд у лівій частині цієї рівності збігається і його сума не перевищує за праву частину, цей факт називається''' нерівностю Бесселя'''.
Рівність Парсеваля вперше з'явилась у дослідженні [[ряди Фур'є|рядів Фур'є]] неперервних функцій на скінченному інтервалі у такому вигляді:
\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2 dx,\quad</math> де
== Див. також ==
| |||