Відмінності між версіями «Дельта-функція Дірака»

нема опису редагування
{{поліпшити|1 серпня 2008}}
{{Помилки}}
'''δ-функція''' є [[узагальнена функція]], формально визначається як неперервний [[лінійний функціонал]] у просторі диференційовних функцій.
δ-функція не є функцією в класичному розумінні.
 
Введена англійським фізиком [[Дірак]]ом. Дозволяє записати просторову густину фізичної величини (маса, заряд, інтенсивність джерела тепла тепла, сили тощо) зосередженою або прикладеною в одній точці. Наприклад, густина точкової маси m, що знаходиться в в точці <math>a</math>, [[евклідів простір|евклідового простору]] <math>\mathbb R^n</math>, записується за допомогою δ-функції у вигляді <math>m\delta(x-a)</math>.
Введена англійським фізиком [[Дірак]]ом.
Дозволяє записати просторову густину фізичної величини (маса, заряд, інтенсивність джерела тепла тепла, сили тощо) зосередженою або прикладеною в одній точці.
Наприклад, густина точкової маси m, що знаходиться в в точці <math>a</math>, [[евклідів простір|евклідового простору]] <math>\mathbb R^n</math>, записується за допомогою δ-функції у вигляді <math>m\delta(x-a)</math>.
 
== Означення ==
δ-функція визначається формальним співвідношенням
 
: <math>(\delta;f)\;=\;\int_{\mathbb R^n}\delta(x-a)f(x)\;dx = f(a)</math>
 
для будь-якої [[неперервна функція|неперервної функції]] <math>f(x)\,</math>.
 
 
== Похідна дельта-функції ==
Фундаментальний вираз, що описує похідну дельта-функції <math>\delta(x)</math>:
: <math>F(\delta(x)=1</math>.:
 
: <math>\int f(x)\delta^{[n]}(x)\,dx=-\int\frac{\partial f}{\partial x}\delta^{[n-1]}(x)\;dx</math>.
: <math>\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(t) \cdot e^{-i 2\pi f t}\,dt = e^{-i 2\pi f \cdot 0}=1</math>
 
в результаті одержуємо, що спектр δ-функції є константою: <math>F(\delta)=1</math>.
 
: <math>F(\delta)=1</math>.
 
Доведено, що похідна [[функція Хевісайда|функції Хевісайда]] дорівнює дельта-функції. Тобто функція Хевісайда — [[первісна]] дельта-функції:
: <math>H(x)=\int\limits_{-\infty}^{x} \delta(t)\,dt</math>.
 
Отже, застосувавши перетворення Фур'є до первісної дельта-функції <math>\sqrt{2\pi}H(t)</math>, одержимо її образ у вигляді:
 
: <math>a(t)=\nusqrt{2\deltapi}H(t-t_a)</math>.,
 
одержимо її образ у вигляді:
 
: <math>\frac{1}{i\omega}+{\pi}\delta(t)</math>.
 
== Фізична інтерпретація ==
[[Зображення:Dirac distribution CDF.svg|leftright|thumb|300px|Графік [[Функція Хевісайда|функції Хевісайда]], похідна від якої - дельта-функція]]
 
[[Зображення:Dirac distribution CDF.svg|left|thumb|300px|Графік [[Функція Хевісайда|функції Хевісайда]], похідна від якої - дельта-функція]]
[[Image:Dirac distribution PDF.svg|right|thumb|300px|Графік дельта-функції]]
Прикладом застосування дельта-функції Дірака може служити задача про зіткнення двох тіл. Якщо на непорушне тіло налітає інше, то обидва тіла отримують прискорення і змінюють свою швидкість. Як розрахувати прискорення раніше нерухомого тіла? Побудуємо графік швидкості від часу. Графік буде мати вигляд, показаний на правому рисунку. На лівому рисунку приведений графік дельта-функції з одиничною амплітудою, він відображає миттєвий процес набору швидкості тілом.
 
Беручи до уваги те, що модель розглядається в евклідовому просторі, можна записати наступне рівняння: <math>a(t)=\nu\delta(t-t_a)</math>.
 
Розглянемо інші приклади. Дельта-функція застосовується у математичній фізиці при розв'язку задач, У які входять зосереджені величини. В [[квазікласичне наближення|квазіклачисному наближенні]] <math>h \rightarrow 0</math> хвильові функції локалізуються в дельта-функції, а центри їх зосередження рухаються по класичних траекторіях за [[Закони Ньютона|рівняннями Ньютона]]. Через дельта-функцію, також записуєтся [[функція Гріна]] лінійного оператора <math>L</math>, що діє на узагальнені функції над [[многовид|многовидом]] <math>M</math> в точці <math>x_0</math>. Рівняння має вигляд <math>(Lf)(x)= \delta (x-x_0)</math>.
: <math>a(t)=\nu\delta(t-t_a)</math>.
 
{{clear}}
 
Розглянемо інші приклади. Дельта-функція застосовується у математичній фізиці при розв'язку задач, У які входять зосереджені величини. В [[квазікласичне наближення|квазіклачисному наближенні]] <math>h \rightarrow 0</math> хвильові функції локалізуються в дельта-функції, а центри їх зосередження рухаються по класичних траекторіях за [[Закони Ньютона|рівняннями Ньютона]]. Через дельта-функцію, також записуєтся [[функція Гріна]] лінійного оператора <math>L</math>, що діє на узагальнені функції над [[многовид|многовидом]] <math>M</math> в точці <math>x_0</math>. Рівняння має вигляд
:<math>(Lf)(x)= \delta (x-x_0)</math>.
 
У наведеній вище формулі, оператор <math>L</math> — [[оператор Лапласа]].
: <math>\nabla^2 G=-4\pi\delta</math>,
 
де
де <math>G = \frac{1}{r}</math> — [[функція Гріна]].
 
де: <math>G = \frac{1}{r}</math> — [[функція Гріна]].
 
Цей вираз випливає з того, що <math>\nabla^2\left(\frac{1}{r}\right)</math> веде себе подібно до дельта-функції. <ref>[http://promsiu.narod.ru/files/belova/19.doc Доведення властивостей функції Гріна для точкового джерела] </ref>. Це твердження використовується для доведення того, що вираз для [[скалярний потенціал|скалярного потенціала]]:
* Кудрявцев Л. Д. «Краткий курс математического анализа, том 2», ISBN 5-9221-0185-4
 
== Примітки ==
<references/>
 
8180

редагувань