Теорія збурень: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Відміна редагування № 1578479 користувача 217.146.243.254 (обговорення) |
|||
Рядок 10:
де <math> H_0 </math> — гамільтоніан із відомим спектром, <math> \lambda </math> — малий параметр, <math> \hat{V} </math> — оператор збурення.
Для знаходження розв'язку проводиться розклад
: <math>
: <math> \psi_{n} =\sum_{m=0..\inf} c_{mn} \psi_{m}^{(0)} </math>.▼
▲Для знаходження розв'язку проводиться розклад коефіціентів <math> c_{mn} </math> в [[ряд Тейлора]] щодо малого параметру
▲: <math> c_{mn} = c_{mn}^{(0)} + \lambda c_{mn}^{(1)} + \lambda^2 c_{mn}^{(2)} + \ldots </math>.
Аналогічним чином розкладається в ряд Тейлора енергія власного стану
Рядок 31 ⟶ 19:
У '''першому наближенні''' теорії збурень (коли враховуються лише лінійні по <math> \lambda </math> члени) [[енергія]] n-го стану отримує приріст
: <math> E_n = E_{n}^{(0)} + \lambda\int \psi_{n}^{(0)*} \hat{V} \psi_{n}^{(0)} dV </math>.
Зміна хвильової фунції визначається формулою
:<math>
{E_m^{(0)} - E_n^{(0)}} </math>,
де <math> E_{0m} </math> - власні значення незбуреного гамільтоніану <math> \hat{H}_0 </math>, а
:<math> V_{nm} = \int \
Ця зміна ортогональна початковій хвильовій функції <math> \psi_n^{(0)} </math>.
У '''другому наближенні''' теорії збурень враховуються члени, пропорційні <math> \lambda^2 </math>.
▲:
:<math> \psi_n^{(2)} = - \frac{1}{2} \sum_{m \neq n}
\frac{V_{nm}V_{mn}}{(E_{n}^{(0)} - E_{m}^{(0)})^2} \psi_n^{(0)}
+ \sum_{m \neq n} \left( \sum_{k \neq m}
\frac{V_{nk} V_{km}}{(E_{n}^{(0)} - E_{m}^{(0)})(E_{n}^{(0)} - E_{k}^{(0)})} -
\frac{V_{nm} V_{mm}}{(E_{n}^{(0)} - E_{m}^{(0)})^2}
\right) \psi_m^{(0)} </math>
Очевидно, що поправка до енергії залишатиметься малою лише при умові, коли <math> \lambda V_{nm} \ll E_{n}^{(0)} - E_{m}^{(0)} </math>. Тобто, теорія збурень в поданому вигляді справедлива лише для систем і станів, енергії яких не невироджені й не близькі між собою. Для систем із близькими рівнями енергій і вироджених систем формули теорії збурень змінюються.
| |||