Теорема Барбашина — Красовського: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
У теорії [[Звичайні диференціальні рівняння|звичайних диференціальних рівнянь]] '''теорема Барбашина-Красовського''' (також '''принцип інваріантності ЛаСаля'''; {{lang-en|LaSalle's invariance principle}}) дає достатні умови стійкості в цілому нульового розв'язку системи рівнянь. Загальне твердження було незалежно доведене Н. Н. Красовським та [[Джозеф П'єр ЛаСаль|Д. П. ЛаСалєм]]. В англійськомовних джерелах результат відомий під назвою ''принцип інваріантності ЛаСаля'' ({{lang-en|LaSalle's invariance principle}}), тоді як в українській та радянській літературі вживається термін ''теорема Красовського'', або ''теорема Барбашина-Красовського''.
==
Стан системи у фазовому просторі <math>\mathbb{R}^n</math> (де <math>n \in \mathbb{N}</math>) в час <math>t \in \mathbb{R}</math> даний точкою <math>\vec{x}(t)=( x_1(t), x_2(t), \dots, x_n(t) )</math>, де <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> [[Диференційовна функція|диференційовні функції]]. Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь <math>\dot{\vec{x}}(t) = f(\vec{x}(t))</math>, де <math>f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> [[неперервна функція]], <math>f(\vec{x}(t)) = \frac{d}{dt}\vec{x}(t)</math>. Систему можна коротко записати як <math>\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})</math>.
== Теорема Барбашина-Красовського ==
Якщо існує додатно визначена нескінченно велика функція <math>V(\vec{x})</math> похідна від якої по часу <math>\frac{dV}{dt}</math> вздовж траєкторій системи <math>\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})</math> є від'ємно-сталою (тобто <math>\frac{dV}{dt} \leq 0</math> повсюди), причому рівність <math>\frac{
==Теорема ЛаСаля==
Нехай <math>V(\vec{x})</math> скалярна функція з неперервними частковими похідними повсюди. Припустимо що
# <math>V(\vec{x}) > 0 </math> коли <math>\vec{x} \neq \vec{0}</math>,
# <math>\dot{V}(\vec{x}) \leq 0</math> повсюди,
# <math>V(\vec{x}) \to \infty </math> з тим як <math>||\vec{x}|| \to \infty </math>.
Якщо рівність <math>\dot{V}(\vec{x}) \equiv \nabla V \cdot f(\vec{x}) = 0</math> можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки <math>\vec{x} = \vec{0}</math>, то нульовий розв'язок системи рівнянь <math>\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})</math> стійкий в цілому.
== Оригінальні статті ==
Рядок 13 ⟶ 22:
* ({{lang-ua| }}) [[Самойленко Анатолій Михайлович|Самойленко, А. М.]], Кривошея С. А., Перестюк Н. А. ''Диференціальні рівняння у прикладах і задачах'', Вища школа, Київ, 1994.
* ({{lang-ua| }}) М. О. Перестюк, О. С. Чернікова. ''Теорія стійкості''. [http://mechmat.univ.kiev.ua/dload/pos/teor_stij.pdf PDF]
* ({{lang-en| }}) [http://www.ee.tamu.edu/~huang/files/materials606/nonlinear9.pdf Лекції на тему аналізу нелінейних систем, Texas A&M University (PDF)].
== Див. також ==
| |||