Народився в [[Одесa|Одесі]] у родині лікарів. В [[19571933]] р. закінчив історичний факультет [[Одеський національний університет імені І. І. Мечникова|Одеського університету імені І. І. Мечникова]]. Один із перших напрямків наукової діяльності був обраний ще у студентські роки за власною ініціативою студента й порадою наукового керівника д.і.н., професора [[С. М. Ковбасюка]]. Цей напрямок, пов'язаний з історією козацтва й селянства на півдні України у [[XIX]] ст., став провідним у подальших наукових дослідженнях вченого й пройшов червоною стрічкою через більшість його наукових праць. Саме з цим напрямком були пов'язані перші наукові публікації А. Д. Бачинського й знайомство з архівними документами. Після закінчення історичного факультету Анатолій Діомидович працював науковим співробітником [[Одеський археологічний музей|Одеського державного археологічного музею]] (1957–1958 рр.) і старшим науковим співробітником [[Державний архів Одеської області|Державного архіву Одеської області]] (1958–1963 рр.). Працюючи в Державному архіві А. Д. Бачинський підготував до друку (у співавторстві) путівник по фондах архіву, написавши до нього понад півсотні статей. Більшість з них не втратили своєї актуальності й сьогодні.
Одночасно, з 1960 р., він розпочав викладати на історичному факультеті Одеського університету імені І. І. Мечникова, на якому потім і пропрацював усе життя. Під впливом колишнього наукового керівника й видатних істориків І. О. Гуржія і В. О. Голобуцького відбувалось подальше накопичення й обробка документів і матеріалів за зазначеним напрямком, що згодом було оформлено у кандидатську дисертацію «Народна колонізація Придунайських степів у [[XVIII]] — на початку XIX ст.». Її захист відбувся в Одесі у [[1969]] р., опонентами виступили д.і.н., проф. В. О. Дядиченко та к.і.н. І. Л. Бутич.
