Відкрити головне меню

Зміни

укр. мова
В [[статистика|статистиці]], '''дельта Дельта-метод''' ({{lang-en|Delta method}}) у [[статистика|статистиці]] — це твердження щодо наближеного ймовірнісного розподілу функції асимптотично нормальної статистичної оцінки за відомої граничної варіації цієї оцінки. 
 
== Одновимірний дельта -метод ==
У той час, як метод дельта легко узагальнюється до багатовимірного випадку, ретельну мотивацію методи легше продемонструвати в одновимірних умовах. Грубо кажучи, якщо є [[Послідовність (математика)|послідовність]] випадкових величин <math>X_n</math>, що задовольняють
: <math>{\sqrt{n}[X_n-\theta]\,\xrightarrow{D}\,\mathcal{N}(0,\sigma^2)},</math>
: <math>g(X_n)=g(\theta)+g'(\tilde{\theta})(X_n-\theta),</math>
дe <math>\tilde{\theta}</math> знаходиться між {{Mvar|X<sub>n</sub>}} тa <math>\theta</math>.
Зауважте, що оскільки <math>X_n\,\xrightarrow{P}\,\theta</math> тa <math>X_n < \tilde{\theta} < \theta </math>, то відповідно маємо <math>\tilde{\theta} \,\xrightarrow{P}\,\theta</math> і оскільки <math>g'(\theta)</math> неперервна, то, застосовуючи теорему про неперервне відображення, маємо
: <math>g'(\tilde{\theta})\,\xrightarrow{P}\,g'(\theta),</math>
дe <math>\xrightarrow{P}</math> позначає збіжність за розподілом.
Що й треба було показати.
 
==== Доведення з явним використанням О -символіки ====
Альтернативно, можна було б додати ще один крок в кінці для отримання порядкового наближення:
: <math>
Що показує прямування наближення за ймовірністю до нуля.
 
== Багатовимірний дельта -метод ==
За означенням, конзистентна оцінка ''B'' [[Збіжність за мірою|збігається за ймовірністю]] до її справжнього значення ''β'', і, застосовуючи центральну граничну теорему, можна отримати асимптотичну нормальність:
: <math>\sqrt{n}\left(B-\beta\right)\,\xrightarrow{D}\,N\left(0, \Sigma \right),</math>
дe ''n''&nbsp;— число спостережень і Σ&nbsp;— матриця коваріації (симетрична позитивно напів-визначена). Нехай треба оцінити варіацію функції ''h'' оцінки ''B''. Беручи до уваги тільки два перші члени розкладу Тейлора[[Ряд Тейлора|<nowiki/>розкладу Тейлора]], з використанням векторного позначення градієнта[[Градієнт|<nowiki/>]], можемо оцінити ''h(B)'' як
: <math>h(B) \approx h(\beta) + \nabla h(\beta)^T \cdot (B-\beta)</math>
звідки випливає, що варіація ''h(B)'' наближено дорівнює
& = \nabla h(\beta)^T \cdot (\Sigma / n) \cdot \nabla h(\beta)
\end{align}</math>
Застосовуючи теорему Лагранжа про середнє (для дійснозначних функцій багатьох змінних), можна переконатись, щo доведення не спирається на той факт, що враховуються тільки наближення першого порядку.
 
Отже, з дельта -методу випливає
 
: <math>\sqrt{n}\left(h(B)-h(\beta)\right)\,\xrightarrow{D}\,N\left(0, \nabla h(\beta)^T \cdot \Sigma \cdot \nabla h(\beta)\right)</math>
* Klein, L. R. (1953), A Textbook of Econometrics, p. 258.
 
== ЛанкиПосилання ==
* Oehlert, G. W. (1992), A Note on the Delta Method, ''The American Statistician'', Vol. 46, No. 1, p. 27-29. http://www.jstor.org/stable/2684406
* [http://www.indiana.edu/~jslsoc/stata/ci_computations/spost_deltaci.pdf Lecture notes]
* [http://data.imf.au.dk/courses/advsimmethod/Fall05/notes/1209.pdf More lecture notes]
* [http://www.stata.com/support/faqs/stat/deltam.html Explanation from Stata software corporation]
 
[[Категорія:Економетрика]]