|
==== Секційні кривизни обмежені зверху ====
# '''{{нп5|Теорема Картана-Адамара|Теорема Картана-Адамара|en|Cartan–Hadamard theorem}}''' стверджує, що завершений [[Однозв'язна область|однозв'язний]] Ріманів многовид ''M'' з непозитивною секційною кривизною дифеоморфний до [[Евклідів простір|Евклідового простору]] '''R'''<sup>''n''</sup> з ''n'' = тьмяному ''M'' за допомогою {{нп5|Експоненціальне відображення|експоненціального відображення|en|Exponential map (Riemannian geometry)}} в будь-якій точці. Це означає, що будь-які дві точки однозв'язних завершених Ріманових многовидів з непозитивною секційною кривизною з'єднані геодезично унікально.
# [[Геодезична лінія|Геодезичний потік]] будь-якого компактного римановаРіманового різноманіттямноговиду з негативною кривизноюсекційною перетинукривизною [[ергодичнаЕргодичність|ергодичний]].
# Якщо ''M''повне різноманіттяє завершеним Рімановим многовидом з секційноїсекційною кривизникривизною, обмеженоїобмежений зверху строго негативною постійноїконстантою ''k'' то це [[{{нп5|CAT(k) простір|CAT(''k'') простір]]|en|CAT(k) space}}. ОтжеТому, його [[Фундаментальнафундаментальна група]] ''Γ'' = π<sub>1</sub>(''M'') є [[Гіперболічне{{нп5|Гіперболічна погрупа|гіперболічною Громову]]групою Громова|en|Hyperbolic group}}. Це має безліч наслідків для структури фундаментальної групи:
::* вона [[Задання групи|звичайно представлена]];
::* Це має безліч [[наслідків для структури фундаментальної групи]];
::* [[{{нп5|Проблема рівності]]тотожності|проблема тотожності|en|Word problem for groups}} для ''Γ'' має позитивне рішення;
::* група ''Γ'' має кінцеву віртуальнийвіртуальну {{нп5|Когомологічна розмірність|когомологічну [[Когомологічнийрозмірність|en|Cohomological вимір]]dimension}};
::* онавона містить тількилише кінцевекінцеву [[числокількість {{нп5|Клас спряженості|класів]] спряжених[[Елементівспряженості|ru|Класс сопряжённости}} {{нп5|Кручення (алгебра)|елементів кінцевого порядку]]|ru|Кручение (алгебра)}};
::* [[АбелевіАбелева група|Абелеві]] підгрупи ''Γ'' є [[ПрактичноЦиклічна група|фактично циклічними]], так що вінвона не містить підгрупу ізоморфічну '''Z'''×'''Z'''.
==== Кривизна Річчі обмежена знизу ====
# '''[[{{нп5|Теорема Майерс]]|Теорема Майерс|en|Myers's theorem}}.''' Якщо компактнекомпактний Ріманів многовид має позитивніпозитивну кривизникривизну Річчі, то його [[фундаментальна група .]] кінцева.
# '''[[Поділ{{нп5|Теорема теорема.]]розщеплення|Теорема розщеплення|en|Splitting theorem}}.''' Якщо повне ''n''-мірне Ріманів многовид має неотрицательную кривизну Річчі і пряму лінію (тобто геодезична, яка мінімізує відстань на кожному відрізку), то він ізометрічен прямого твори прямий і повної (''n''-1)-мірного ріманова різноманіття, має неотрицательной кривизни Річчі.
# '''[[Громова нерівність.]].''' Обсяг метричний кулю радіуса ''r''в повному ''n''-вимірному римановом різноманітті з позитивною кривизною Річчі має об'єм не більше, що частина обсягу кулі того ж радіуса ''r'' в евклідовому просторі.
# '''[[Теорема про компактність Громова]].''' Безліч всіх ріманових многовидів позитивної кривизни Річчі, діаметром не більше ''D'' [[Попередньо компактної]] в [[Метриці Громова-Хаусдорфа.]].
| 