Дельта-метод: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
м →Багатовимірний дельта метод: вікіфікація |
|||
Рядок 2:
== Одновимірний дельта метод ==
У той час як метод дельта легко узагальнюється до багато вимірного випадку, ретельну мотивацію методи легше продемонструвати в одновимірних умовах. Грубо кажучи, якщо є [[Послідовність (математика)|послідовність]] випадкових величин
:<math>{\sqrt{n}[X_n-\theta]\,\xrightarrow{D}\,\mathcal{N}(0,\sigma^2)},</math>
дe <math>\theta</math> тa <math>\sigma^2</math> - скінченні константи і <math>\xrightarrow{D}</math> позначає [[збіжність за розподілом]], тоді
:<math>{\sqrt{n}[g(X_n)-g(\theta)]\,\xrightarrow{D}\,\mathcal{N}(0,\sigma^2[g'(\theta)]^2)}</math>
для довільної функції ''g'', яка задовольняє властивість:
=== Доведення одновимірного випадку<span class="cx-segment" data-segmentid="40"></span> ===▼
Доведення твердження досить просте у випадку неперервної похідної {{Шаблон:Math|''g′''(''θ'')}}. Для початку скористаємось теоремою Лагранжа про середнє[[Теорема Лагранжа|<nowiki/>]]:▼
дe <math>\tilde{\theta}</math> знаходиться між {{Шаблон:Mvar|X<sub>n</sub>}} тa ''θ''.▼
Зауважте, що оскільки <math>X_n\,\xrightarrow{P}\,\theta</math> тa <math>X_n < \tilde{\theta} < \theta </math>, то відповідно маємо <math>\tilde{\theta} \,\xrightarrow{P}\,\theta</math> і оскільки {{Шаблон:Math|''g′''(''θ'')}} неперервна, то застосовуючи теорему про неперервне відображення маємо▼
▲Доведення твердження досить просте у випадку [[Неперервна функція|неперервної]] похідної
:<math>g(X_n)=g(\theta)+g'(\tilde{\theta})(X_n-\theta),</math>
▲дe <math>\tilde{\theta}</math> знаходиться між {{Шаблон:Mvar|X<sub>n</sub>}} тa
▲Зауважте, що оскільки <math>X_n\,\xrightarrow{P}\,\theta</math> тa <math>X_n < \tilde{\theta} < \theta </math>, то відповідно маємо <math>\tilde{\theta} \,\xrightarrow{P}\,\theta</math> і оскільки
:<math>g'(\tilde{\theta})\,\xrightarrow{P}\,g'(\theta),</math>
дe <math>\xrightarrow{P}</math> позначає збіжність за розподілом.
Після тривіальних перетворень і множення на <math>\sqrt{n}</math> маємо
:<math>\sqrt{n}[g(X_n)-g(\theta)]=g' \left (\tilde{\theta} \right )\sqrt{n}[X_n-\theta].</math>
Оскільки<span class="cx-segment" data-segmentid="65"></span>
:<math>{\sqrt{n}[X_n-\theta] \xrightarrow{D} \mathcal{N}(0,\sigma^2)}</math>
за припущенням і використовуючи [[Теорема Слуцького|теорему Слуцького]] випливає
:<math>{\sqrt{n}[g(X_n)-g(\theta)] \xrightarrow{D} \mathcal{N}(0,\sigma^2[g'(\theta)]^2)}.</math>
Що й треба було показати.
==== Доведення з явним використанням О символіки
Альтернативно, можна було б додати ще один крок в кінці для отримання порядкового
:<math>
\begin{align}
\sqrt{n}[g(X_n)-g(\theta)]&=g' \left (\tilde{\theta} \right )\sqrt{n}[X_n-\theta]=\sqrt{n}[X_n-\theta]\left[ g'(\tilde{\theta} )+g'(\theta)-g'(\theta)\right]\\
&=\sqrt{n}[X_n-\theta]\left[g'(\theta)\right]+\sqrt{n}[X_n-\theta]\left[ g'(\tilde{\theta} )-g'(\theta)\right]\\
&=\sqrt{n}[X_n-\theta]\left[g'(\theta)\right]+O_p(1)\cdot o_p(1)\\
&=\sqrt{n}[X_n-\theta]\left[g'(\theta)\right]+o_p(1)
\end{align}
</math>
Що показує прямування наближення за ймовірністю до нуля.
| |||