'''Ріманова геометрія''' Ріманова геометрія є філією диференціальної геометрії, що вивчає Ріманових[[Ріманів многовидівмноговид|Ріманові многовиди]], [[Многовид|гладкі різноманіттямноговиди]] з ріманової''Рімановою « метрикиметрикою» '', тобто з {{нп5|Внутрішній продукт|внутрішнього продукту |en|Inner product}} на [[Дотичний простір|дотичному просторі ]] в кожній точці, яка змінюється плавно від точки до точки. Це дає зокрема, місцевістьлокальні поняття кута[[кут]]а, [[Довжина кривої|довжини кривихкривої]], [[Площа поверхні|площі поверхні ]] та [[об' ємуєм]]у. З тих формулми, деякі інші глобальні величини можуть бути отримані шляхом інтеграції[[Інтеграл|інтегрування]] місцевихлокальних внесків. ▼{{помилки}}
{{hatnote|[[Еліптична геометрія]] також іноді називають "Ріманова геометрія".}}
Ріманова геометрія виникла з баченнямбачення Бернхарда[[Бернгард Ріман|Бернгарда Рімана ]] виражаєтьсявираженого в його inaugurationalінавгураційній лекції ''[http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/ Ueber гіпотезах,die WelcheHypothesen, welche der Geometrie , zu Grunde liegen]''<!--Old link: http://www.emis.de/classics/Riemann/Geom.pdf--> (''Про гіпотези, що лежать в основі геометрії''). Це дуже широке і абстрактне узагальнення [[Диференціальна геометрія поверхонь|диференціальної геометрії поверхонь]] в '''R'''<sup>3</sup>. РозробкаРозвиток рімановоїРіманової геометрії вє результатірезультат синтезу різних результатів, що стосуються геометрії поверхонь і поведінкувпливу [[Геодезична лінія|геодезичних ліній]] на них, з методами, які можуть бути застосовані додля вивчення [[Диференційовний многовид|диференційовних багатовидівмногодів]] вищих розмірностей. Це дозволялозадіяло [[Загальна теорія відносності|загальну теорію відносності ]] [[Альберт Ейнштейн|Ейнштейна ]], якийяка зробивзробла глибокий вплив на теорії[[Теорія груп |теорію груп]] і теорії[[Теорія зображеньпредставлень|теорію представлень]], а також {{нп5|Глобальна аналітична функція|аналіз |en|Global analytic function}}, і стимулювалостимулювла розвиток алгебраїчної[[Алгебрична топологія|алгебричної]] і {{нп5|Диференціальна топологія|диференціальної топології |en|Differential topology}}. ▼▲'''Ріманова геометрія''' Ріманова геометрія є філією диференціальної геометрії, що вивчає Ріманових многовидів, гладкі різноманіття з ріманової «метрики», тобто з внутрішнього продукту на дотичному просторі в кожній точці, яка змінюється плавно від точки до точки. Це дає зокрема, місцевість поняття кута, довжини кривих, площі поверхні та об'єму. З тих, деякі інші глобальні величини можуть бути отримані шляхом інтеграції місцевих внесків.
▲Ріманова геометрія виникла з баченням Бернхарда Рімана виражається в його inaugurational лекції ''[http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Geom/ Ueber гіпотезах, Welche, Geometrie, Grunde liegen]''<!--Old link: http://www.emis.de/classics/Riemann/Geom.pdf--> (''Про гіпотези, що лежать в основі геометрії''). Це дуже широке і абстрактне узагальнення диференціальної геометрії. Розробка ріманової геометрії в результаті синтезу різних результатів, що стосуються геометрії поверхонь і поведінку геодезичних на них, з методами, які можуть бути застосовані до вивчення диференційовних багатовидів вищих розмірностей. Це дозволяло загальну теорію відносності Ейнштейна, який зробив глибокий вплив на теорії груп і теорії зображень, а також аналіз і стимулювало розвиток алгебраїчної і диференціальної топології.
== Введення ==
[[Файл:Georg Friedrich Bernhard Riemann.jpeg|thumb|[[Бернгард Ріман]]]]
Ріманова геометрія була вперше висунута в спільностімаси [[Бернгард Ріман|Бернгардом Ріманом]]а у дев'ятнадцятому столітті. Вона має справу з широким спектром геометрії, метрика якихвластивостей властивостіяких змінюються від точки до точки, в тому числі стандартних типів [[Non-EuclideanНеевклідова geometryгеометрія|неевклідової геометрії]].
Будь-якеякий гладкегладкий різноманіттямноговид допускає [[РімановаМетричний метрикатензор|Ріманову метрику]], яка часто допомагає вирішити проблеми [[Диференціальної{{нп5|Диференціальна топологія|диференціальної топології]]|en|Differential topology}}. Він також служить в якості початкового рівня для більш складної структури [[Псевдорімановим- різноманіть]]{{нп5|Псевдорімановий многовид|псевдоріманових многовидів|ru|Псевдориманово многообразие}}, wякі (в чотирьох вимірах) є основними об'єктами [[Загальна Загальноїтеорія відносності|загальної теорії відносності]]. Інші узагальнення Ріманової геометрії включають [[Фінслерова геометрія|Фінслерову геометрію.]].
ТамІснує існує тіснаблизька аналогія диференціальної геометрії з математичноїматематичними структуриструктурами дефектів у звичайних кристалах. [[Дислокація (кристалографія)|Дислокації]] та [[Дисклінацій]]виробляти{{нп5|Дисклінація|дисклінації|ru|Дисклинация}} виробляють кручення і кривизникривину.<ref>
{{Стаття
{{cite journal
| titleназва = Gauge Fields in Condensed Matter Vol II
| прізвище = Кляйнерт
| last = Kleinert
| firstім'я = HagenХаген
| посилання на автора = {{нп5|Кляйнерт Хаген|Кляйнерт Хаген|en|Hagen Kleinert}}
| authorlink=Hagen Kleinert
| pagesсторінки = 743–1440
| yearрік = 1989
| url = http://users.physik.fu-berlin.de/~kleinert/kleiner_reb1/contents2.html
}}</ref><ref>
{{Стаття
{{cite journal
| titleназва = Multivalued Fields in Condensed Matter, Electromagnetism, and Gravitation
| прізвище = Кляйнерт
| last = Kleinert
| firstім'я = HagenХаген
| посилання на автора = {{нп5|Кляйнерт Хаген|Кляйнерт Хаген|en|Hagen Kleinert}}
| authorlink=Hagen Kleinert
| pagesсторінки = 1–496
| yearрік = 2008
| url = http://users.physik.fu-berlin.de/~kleinert/b11/psfiles/mvf.pdf
}}</ref>
Наступні статті містять кориснукорисний вступний матеріал:
* [[Метричний тензор]]
* [[Ріманів многовид]]
* [[Ріманове різноманіття]]
* [[Кривина (математика)]]
* [[Леві-Чівіта]]
* [[Тензор кривизникривини]] ▼* [[Кривизна]]
* [[Список диференціальних тем геометрії]]
* [[Глосарій ріманових і метричної геометрії]]
== Класичні теореми в геометрії Рімана ==
Далі неповний список найбільш класичних теорем в рімановиРімановій геометрії. Вибір проводитьсязроблений залежно від йогоїї важливості, краси і простоти формулювання. Більшість результатів можна знайти в класичній монографії [[{{нп5|Джефф Чігер|Джеффа Чігера]]|en|Jeff Cheeger}} і Д. Ебіна (див. нижче).
СкластиНаведені даніформулювання далеко не дужесамі точні або більш загальні. Цей список орієнтований на тих, хто вже знає основні визначення і хочухоче знати, про що ці визначення.
=== Загальні теореми ===
# '''[[Гаусса-БонніФормула теоремиГауса — Бонне|Теорема Гауса — Бонне]]''' - інтеграл від гаусовоїГаусової кривизникривини на компактному 2-вимірному рімановиРімановому різноманіттімноговиді дорівнює 2πχ(''M'') де χ(''M'') позначає [[ЕйлероваХарактеристика ХарактеристикуЕйлера|Ейлерову характеристику]] ''M''. Ця теорема має узагальнення на будь-якому компакті навітькомпактному впарномірному Рімановому різноманіттімновиді, див. [[узагальнену{{нп5|Узагальнена теоремутеорема ГауссаГауса-Бонні]]Бонне|узагальнена теорема Гауса-Бонне|en|Generalized Gauss–Bonnet theorem}}.
# '''[[{{нп5|Теореми Неша про регулярні вкладення|Теореми Неш]]Неша про регулярні вкладення|ru|Теорема Нэша о регулярных вложениях}}''', також її називають [[основні{{нп5|Фундаментальна теоремитеорема геометрії Рімана]]|фундаментальна теорема геометрії Рімана|en|Fundamental theorem of Riemannian geometry}}. Вони стверджують, що кожнекожен [[Ріманів Ріманове різноманіттямноговид]] можна изометрическиізометрично [[вкладення|вкласти]] в [[ЕвклидовийЕвклідів простір]] '''R'''<sup>''n''</sup>.
=== Розширення геометрії ===
=== Геометрія у великому ===
У всіх наступних теоремтеоремах ми припускаємо що в деяких місцях поведінку в просторі (як правило, приготовленісформульовано з використанням кривизникривзни припущення), щоб отримати деяку інформацію про глобальну структуру простору, в тому числі будь деяку інформацію про топологічному типі різноманіття або на поведінку точок на "достатньо великих "відстанях.
==== Секційні кривизни ====
| 