Медіана (статистика): відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
м налаштування шаблону Статистика |
стильові правлення, Мітка: перше редагування |
||
Рядок 15:
З геометричної точки зору, вертикальна пряма <math>x = \tilde{x}</math>, що проходить через точку з абсцисою <math>\tilde{x}</math> ділить площу фігури під кривою функції розподілу на дві рівні частини.<ref name="kremer" />
== Історія ==
=== Медіана варіаційного ряду ===▼
Поняття медіани походить з книги Едварда Райта про навігацію («Помилки в навігації» 1599 року), в розділі з приводу визначення розташування за допомогою компаса. Він зрозумів, що вірогідніше всього, це значення може бути правильним в серіях спостережень.
У 1757 році Роджер Джосеф Бошкович розвивав регресивний метод, заснований на нормі L1 і на медіані.[6] У 1774 році Лаплас запропонував використати медіану як стандартний оцінювач значення пізнішого pdf. Специфічні критерії мали мінімізувати очікувану величину помилки; |α - α*| , де α* є оцінка, і α - справжня цінність.
Критерій Лапласа був загалом знехтуваний протягом 150 років на користь найменшого методу квадратів Гауса і Легенгре, який мінімізує значення < (α - α*)2 >, щоб отримати середину.[7] Поширення як типового означення, так і типової медіани були визначені Лапласом на початку 1800 року.[8] Антуан Августин Курно в 1843 році був першим , хто використав термін «медіана», як значення, яке ділить розподіл вірогідності на дві рівні частини.
Густав Теодор Фішнер використовував медіану (Centralwerth) в соціологічних і психологічних явищах.[9]
Густав Фішнер популяризував медіану у формальному аналізі даних, хоча це вперше зробив Лаплас.[9] Франциск Гальтон вжив англійський термін «медіана» в 1881 році,[10] раніше використовуючи «середина найбільшого значення» (1869 рік) і як «середина» в 1880 році.
Медіаною називають варіанту, що ділить [[варіаційний ряд]] на дві частини з рівною кількістю варіант. Якщо кількість варіант непарна (<math>n = 2k + 1</math>), то <math>\tilde{x} = x_{k+1}</math>, у випадку парної кількості варіант (<math>n = 2k</math>), медіана дорівнює:<ref>{{cite book|title=Теория вероятностей и математическая статистика|author=Гмурман В. Е.|publisher=Высшая школа|edition=9-те|year=2003}}</ref>
Рядок 22 ⟶ 32:
Наприклад, для ряду 2 3 5 6 7 медіана дорівнює 5; для ряду 2 3 5 6 7 9 медіана дорівнює (5 + 6)/2 = 5.5.
== Медіана, як об’єктивний оцінювач ==
Гаус зауважив, що будь-який об’єктивний оцінювач мінімізує ризик (очікувану втрату) відносно функції помилкової втрати. На думку Лапласа, медіана, як об’єктивний оцінювач мінімізує ризик відносно функції втрати абсолютного відхилення.
Інші функції втрати застосовують в статистичній теорії, особливо при перевірці статистичної надійності. Теорію об’єктивного оцінювача, започаткував Джордж Браун в 1947 році.[11]
Оцінка одного розмірного параметра θ, буде об’єктивним оцінювачем для медіани, якщо, для сталої θ, медіана поширення оцінки знаходиться в значенні θ , тобто, відхилення трапляються не так часто.
Подальші властивості медіани, як об’єктивного оцінювача були досліджені.[12][13][14][15] Зокрема, медіана, як об’єктивний оцінювач існує у випадках, де не можливо максимуму вірогідності. Медіани, як об’єктивні оцінювачі інваріантні під один-до-одного, перетвореннями.
== Література ==
{{reflist}}
6. ↑Stigler, S. M. (1986). The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty Before 1900. Harvard University Press. ISBN 0674403401.
== Див. також ==▼
7. ↑Jaynes, E.T. (2007). Probability theory : the logic of science (5. print. ed.). Cambridge [u.a.]: Cambridge Univ. Press. p. 172. ISBN 978-0-521-59271-0.
8. ↑Laplace PS de (1818) Deuxième supplément à la Théorie Analytique des Probabilités, Paris, Courcier.
9. ↑Keynes, J.M. (1921) A Treatise on Probability. Pt II Ch XVII §5 (p 201) (2006 reprint, Cosimo Classics, ISBN 9781596055308 : multiple other reprints).
10. ↑Galton F (1881) "Report of the Anthropometric Committee" pp 245-260. Report of the 51st Meeting of the British Association for the Advancement of Science.
11. ↑Brown, George W. (1947). "On Small-Sample Estimation". Annals of Mathematical Statistics 18 (4): 582–585. doi:10.1214/aoms/1177730349. JSTOR 2236236.
12. ↑Lehmann, Erich L. (1951). "A General Concept of Unbiasedness". Annals of Mathematical Statistics 22 (4): 587–592. doi:10.1214/aoms/1177729549.JSTOR 2236928.
13. ↑Birnbaum, Allan (1961). "A Unified Theory of Estimation, I". Annals of Mathematical Statistics 32 (1): 112–135. doi:10.1214/aoms/1177705145. JSTOR 2237612.
14. ↑van der Vaart, H. Robert (1961). "Some Extensions of the Idea of Bias". Annals of Mathematical Statistics 32 (2): 436–447. doi:10.1214/aoms/1177705051.JSTOR 2237754. MR 125674.
15. ↑Pfanzagl, Johann; with the assistance of R. Hamböker (1994). Parametric Statistical Theory. Walter de Gruyter. ISBN 3-11-013863-8. MR 1291393.
{{Портал|Математика}}
* [[Квантиль]]
=== Ресурси інтернету ===
* [http://mathworld.wolfram.com/StatisticalMedian.html Statistical Median.] на MathWorld{{ref-en}}
| |||