Вікіпедія

Алгебра над кільцем: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
[неперевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Ser GoDo (обговорення | внесок)
6991 редагування
м зв'язність, вікіфікатор
Рядок 1:
'''Алгебра над кільцем'''  — [[алгебраїчна структура]] в [[абстрактна алгебра|абстрактній алгебрі]], а саме в [[теорія кілець|теорії кілець]], з операціями [[додавання]], [[множення]] та [[множення на скаляр]], така що: якщо ''R'' — [[комутативне кільце]], тоді '''''R''-алгеброю''' (тобто, '''алгеброю над кільцем ''R'' ''') є [[модуль над кільцем|''R''-модуль]], що одночасно є [[кільце (алгебра)|кільцем]] в якому [[білінійне відображення|''R''-білінійне]] множення.
 
Формально <math>\ (A,+,\times,\cdot)</math> &nbsp;— є ''R''-алгеброю, якщо:▼
якщо ''R'' — [[комутативне кільце]], тоді '''''R''-алгеброю''' (тобто, '''алгеброю над кільцем ''R'' ''') є [[модуль над кільцем|''R''-модуль]], що одночасно є [[кільце (алгебра)|кільцем]] в якому [[білінійне відображення|''R''-білінійне]] множення.
: <math>\ (A,+,\cdot)</math> &nbsp;— є ''R''-модулем;▼
 
: <math>\ (A,+,\times)</math> &nbsp;— є кільцем (в деяких авторів [[асоціативність]] не вимагається);▼
▲Формально <math>\ (A,+,\times,\cdot)</math> — є ''R''-алгеброю, якщо:
: <math>r \cdot (x \times y) = (r \cdot x) \times y = x \times (r \cdot y) \qquad \forall \; r \in R; \;\; x, y \in A.</math>▼
▲:<math>\ (A,+,\cdot)</math> — є ''R''-модулем;
▲:<math>\ (A,+,\times)</math> — є кільцем (в деяких авторів [[асоціативність]] не вимагається);
▲:<math>r \cdot (x \times y) = (r \cdot x) \times y = x \times (r \cdot y) \qquad \forall \; r \in R; \;\; x, y \in A.</math>
 
Пов'язані визначення:
* Якщо ''A'' є комутативним кільцем, тоді воно називається '''комутативною ''R''-алгеброю'''.
* Якщо ''R'' є [[поле (алгебра)|полем]], тоді ''A'' називається '''алгеброю над полем'''.
* [[Алгебра з діленням]] &nbsp;— алгебра в якій можливе [[ділення]]. В такій алгебрі не існує [[дільники нуля|дільників нуля]].
* [[Нормована алгебра]] &nbsp;— це алгебра над полем з [[норма (математика)|нормою]] ||·||, що задовільняє умову: <math>\|xy\| = \|x\| \|y\| \quad \forall x,y \in A.</math>
 
== Алгебра над полем ==
 
Алгебра над полем за визначенням є [[векторний простір|векторним простором]] над <math>R</math>, тобто має [[Базис (математика)|базис]].
Це дає можливість будувати алгебри над полем по базису, для цього достатньо задати таблицю множення базисних елементів. Такий підхід зручний для скінченновимірних алгебр.
 
Рядок 22 ⟶ 20:
* Алгебри над кільцем:
** довільне кільце можна розглядати як <math>\Z</math>—алгебру, оскільки множення на [[ціле число]] можна звести до додавання та віднімання,
** алгебри [[квадратна матриця|квадратных матриць]],
** алгебри [[многочлен]]ів
* Алгебри над полем [[дійсні числа|дійсних чисел]]:
** [[Комплексні числа]]
Рядок 29 ⟶ 27:
** [[Дуальні числа]]
** [[Кватерніони]]
** [[Октоніони]] &nbsp;— не асоціативна алгебра.
 
== ДивисьДив. також ==
* [[Комутативна алгебра]]
* [[Алгебраїчна алгебра]]
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Алгебра_над_кільцем