Многовид: відмінності між версіями

[неперевірена версія][перевірена версія]
Вилучено вміст Додано вміст
м Ahonc перейменував сторінку з Багатовид на Многовид поверх перенаправлення: так він називається
Скасовані останні 3 редагування і відновлена версія 14120718 Rcehy
Рядок 1:
'''Багатови́дМногови́д''' — це об'єкт, який '''локально''' має характер [[Евклідів простір|евклідового простору]] розмірності n.
 
== Загальний опис ==
БагатовидМноговид має [[цілі числа|цілочислову]] [[розмірність]], яка вказує скількома параметрами (координатами) можна описати [[окіл]] довільної точки багатовидамноговида. Ідея багатовидумноговиду полягає в тому, що геометрія гладкої поверхні «у малому», тобто в околу кожної її точки, нагадує геометрію Евклідового простору. Формально: ''n''-вимірний '''багатовидмноговид''' — це [[Гаусдорфів простір|Гаусдорфів]] [[топологічний простір]] у якому будь-яка точка ''x'' має окіл [[гомеоморфізм|гомеоморфний]] відкритій ''n''-вимірній кулі:
 
: <math>f_x:U\to B_n(0,r)=\{x\in\mathbf{R}^n: ||x||<r\}, x\in U. </math>
 
Завдання топологічних відображеннь ''f''<mathsub>f_x''x''</mathsub>, які називаються '''картами''' (на зразок карт земної поверхні), є частиною структури багатовидамноговида, а сукупність усіх карт називається '''[[атлас (математика)|атласом]]'''. Якщо виконується додаткова вимога, що різні карти узгоджені між собою диференційовним чином, а саме, якщо відображення <math> f_x\circ (f_y)^{-1}</math> між досить малими відкритими множинами ''n''-вимірного Евклідового простору (визначені лише для деяких пар (''x'',''y'')) не тільки неперервні, а й гладкі, то маємо справу з '''гладким багатовидоммноговидом'''.
 
== Приклади ==
 
[[Файл:Red cylinder.svg|right|thumb|Скінченний циліндр є багатовидом з межами]]
* Одновимірний багатовидмноговид&nbsp;— це крива, наприклад, [[пряма]], [[коло]], [[еліпс]], [[Гіпербола (математика)|гіпербола]], або [[парабола]]. Ця лінія не може мати кінцевих точок або перетинати себе. Додатково, з диференційовності лінії випливає, що у кожній точці цілком означена [[дотична]], яка неперервно залежить від точки.
 
* Двовимірний багатовид&nbsp;— це поверхня, наприклад, [[сфера]], [[циліндр]], [[параболоїд]], [[тор]], тощо. Багатовиди вищих розмірностей узагальнюють лінії та поверхні, хоча звичайна уява тут уже не працює.
* Двовимірний многовид&nbsp;— це поверхня, наприклад, [[сфера]], [[циліндр]], [[параболоїд]], [[тор]], тощо.
* [[Компактний простір|Компактниий]] [[Зв'язаний простір|зв'язаний]] багатовид без [[Границя (топологія)|границі]] називається '''[[замкнутий багатовид|замкнутим]]'''.
 
* Двовимірний багатовид&nbsp;— це поверхня, наприклад, [[сфера]], [[циліндр]], [[параболоїд]], [[тор]], тощо. БагатовидиМноговиди вищих розмірностей узагальнюють лінії та поверхні, хоча звичайна уява тут уже не працює.
 
* [[Компактний простір|Компактниий]] [[Зв'язаний простір|зв'язаний]] багатовидмноговид без [[Границя (топологія)|границі]] називається '''[[замкнутий багатовидмноговид|замкнутим]]'''.
 
* ''n''-вимірна сфера, або ''[[гіперсфера]]'':
 
: <math>S^n=\{x\in\mathbf{R}^{n+1}: ||x||=1\}. </math>
[[Файл:Red cylinder.svg|right|thumb|Скінченний циліндр є багатовидоммноговидом з межами.]]
 
== Додаткові структури на багатовидахмноговидах ==
 
Задання [[метричний тензор|метричного тензора]] <math>g_{ij}</math> дозволяє знаходити відстань між двома нескінченно близькими точками, а також інтегрувати ([[скалярне поле]]) по підбагатовидахпідмноговидах, наприклад вздовж кривих, що проходять всередині багатовидамноговида, або [[інтегрування по об'єму багатовидамноговида|по об'єму самого багатовидамноговида]].
 
Інтегрувати [[векторне поле|векторні]] та [[тензорне поле|тензорні]] поля так просто, як скаляр, не можна&nbsp;— через [[комутативність|некомутативність]] [[паралельне перенесення векторів|паралельного переносу векторів]] (якщо тензор внутрішньої кривини ненульовий). Наприклад, ми не можемо точно обчислювати повну силу, що діє на протяжне тіло в [[Загальна теорія відносності|загальній теорії відносності]].
 
Якщо скаляр скрізь дорівнює одиниці, то ми можемо знаходити довжини кривих і <math>k</math>-мірні об'єми <math>k</math>-мірних підбагатовидівпідмноговидів (<math>k \le n</math>, де <math>n</math>&nbsp;— розмірність багатовидамноговида). Особливий інтерес становлять [[Мінімальні багатовидимноговиди|підбагатовидипідмноговиди мінімального об'єму]], зокрема найкоротша лінія, що сполучає дві точки багатовидамноговида ([[геодезична лінія]]).
 
В околі будь-якої точки багатовидамноговида можна задати [[Майже декартові координати в точці багатовидамноговида|майже декартові координати]] такі, що [[початок координат]] буде в цій точці, метричний тензор буде одиничним, і всі перші похідні метричного тензора (або, що еквівалентно, всі символи Крістофеля) дорівнюють нулю. Другі ж похідні можна зробити нульовими далеко не завжди, для цього необхідно (і достатньо), щоб [[тензор Рімана]] дорівнював нулю. Якщо [[Нульовий тензор Рімана|тензор Рімана тотожно дорівнює нулю]] в деякій зв'язній області багатовидамноговида, то в цій області можна побудувати декартові координати (з метричним тензором що дорівнює одиничній матриці <math>g_{ij} = \delta_{ij}</math>), отже внутрішня геометрія такого багатовидумноговиду збігається з геометрією евклідового простору (хоча при погляді зверху цей багатовидмноговид може бути, наприклад, циліндром).
 
Розгляд кривини багатовидамноговида виявляється набагато простішим для [[гіперповерхня|гіперповерхонь]], коли багатовидмноговид вкладений в евклідовий простір на одиницю більшої розмірності. Практично важливим випадком гіперповерхні є [[двовимірні багатовидимноговиди]] в тривимірному просторі.
 
== Див. також ==
 
* [[Ріманів багатовидмноговид]]
* [[Замкнутий багатовидмноговид]]
* [[Диференційовний багатовидмноговид]]
* [[Орбівид]]
 
== Література ==
{{^}}{{ВП-порталиПортал|Математика}}
* ''Бронштейн&nbsp;И.&nbsp;Н.'', ''Семендяев&nbsp;К.&nbsp;А.'' Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов.&nbsp;— М.: Наука, 1980.&nbsp;— 976&nbsp;с., ил.
 
[[Категорія:БагатовидиМноговиди|*]]
{{^}}{{ВП-портали|Математика}}
 
[[Категорія:Багатовиди|*]]
[[Категорія:Топологія]]
[[Категорія:Диференціальна геометрія]]
 
{{Link FA|fr}}