Відмінності між версіями «Формула Лейбніца для визначників»

м
нема опису редагування
(tagged isolated of cluster сирота0.)
м
'''Формула Лейбніца''' виражає [[визначник]] [[квадратна матриця|квадратної матриці]]
: <math>A = (a_{ij})_{i,j = 1, \dots, n}</math>
 
через перестановки елементів матриці. Для ''n''×''n'' матриці формула така
: <math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i), i},</math>
 
де sgn&nbsp;— парність [[перестановка|перестановки]] у [[група перестановок|групі перестановок]] ''S''<sub>''n''</sub>, яка повертає +1 і −1 для парних і непарних, відповідно.
 
Інший поширений запис цієї формули із використанням [[Символ Леві-Чивіти|символу Леві-Чивіти]] і [[Нотація Ейнштейна|нотації ЕйнштенаЕйнштейна]]
: <math>\det(A)=\epsilon^{i_1\cdots i_n}{a}_{1i_1}\cdots {a}_{ni_n},</math>
може бути більш знайомим для фізиків.
 
Пряме обчислення формули Лейбніца з означення потребує <math>\Omega(n! \cdot n)</math> дій, тобто кількість операцій асимптотично пропорційна до ''n'' [[факторіал]] &nbsp;— бо ''n''! це число перестановок порядку ''n''. Це непрактично складно для великих ''n''. Натомість, визначник можна обчислити за O(''n''<sup>3</sup>) дій, використовуючи [[LU розклад матриці]] <math>A = LU</math> (зазвичай через [[метод Гауса]] або подібний), в цьому випадку <math>\det A = (\det L) (\det U)</math> а визначники трикутних матриць ''L'' і ''U'' є просто добутками їх діагональних елементів. (Однак, у практичному застосуванні чисельної лінійної алгебри, явний розрахунок визначника необхідний рідко.)
 
{{Ізольована стаття}}
 
[[Категорія:Визначники]]