Відмінності між версіями «Гіперповерхня»

2500 байтів додано ,  11 років тому
і назвемо кривиною Гауса <math>n</math>-го степеня. Цей коефіцієнт з точністю до знаку дорівнює добутку головних кривин гіперповерхні.
 
== Інтеграл ГаусаҐаусса ==
 
Розглянемо замкнуту гіперповерхню <math>M</math> (подібну до сфери, тора і т.д.), і проінтегруємо кривину ГаусаҐаусса по всій нашій гіперповерхні (це і є інтегралом ГаусаҐаусса):
: <math>(49) \qquad I = \int_{M} K^{[n]} d \tau^{(\mathbf{r})}</math>
Підінтегральний вираз внаслідок (47) дорівнює елементу об'єму одиничної гіперсфери <math>\mathbb{S}^n</math>, взятому зі знаком "плюс" або "мінус" залежно від знаку кривини ГаусаҐаусса. Образ на гіперсфері може мати складки, коли одна і та ж точка гіперсфери покривається зі знаком "плюс" для одної точки многовида, і зі знаком "мінус" для деякої іншої точки многовида. В цьому разі відповідні вклади в інтеграл (49) компенсуються. Але оскільки образ не має обірваних країв (для двосторонніх гіперповерхонь), то він повинен покривати всю гіперсферу, можливо кілька разів. ПозначимоЦей обємфакт одиничноїможна гіперсферизаписати у вигляді такої формули:
: <math>(50) \qquad \omega_int_{M} K^{[n+1]} =d \omegatau^{(\mathbbmathbf{Sr}^n)} = N \omega_{n+1}</math>
де <math>N</math> - ціле число (для двосторонніх гіперповерхонь), яке може бути як додатнім, так і відємним, а <math>\omega_{n+1}</math> - об'єм одиничної гіперсфери:
Він дорівнює:
: <math>(51) \qquad \omega_{n+1} = \omega(\mathbb{S}^n) = {2 \pi^{n+1 \over 2} \over \Gamma({n+1 \over 2 })}</math>
Для односторонніх гіперповерхонь також справедлива формула (50), але в ній число <math>N</math> напівціле (оскільки одна й та ж точка многовиду має два образи - діаметрально протилежні точки на гіперсфері).
Тому
 
Зазначимо, що не для всіх цілих та напівцілих чисел <math>N</math> існує гладка замкнута гіперповерхня, для якої виконується рівність (50). Наприклад, при розмірності гіперповерхні <math>n = 1</math>, тобто кривої на площині, число <math>N</math> не може бути напівцілим (у кривої що має форму краплі, є хвіст, в якому вектори нормалі протилежні, але ця точка не є регулярною точкою). Цілі числа <math>N</math> реалізуються кривими, які (із самоперетином) <math>N</math> різів обкручуються довкола фіксованої точки площини. Формула (50) для кривої <math>L</math> запишеться так:
: <math>(51) \qquad - \oint_L k d s = 2 \pi N </math>
де <math>k</math> - кривина кривої, взята зі знаком плюс або мінус в залежності від того, за чи проти годинникової стрілки вигинається крива. Число <math>N=0</math> реалізується для кривої у формі вісімки.
 
Для двомірної гіперповерхні <math>S</math> (<math>n = 2</math>) в тривимірному просторі, число <math>N</math> дорівнює половині Ейлерової характеристики:
: <math>(52) \qquad N = {1 \over 2} \chi (S)</math>
а тому може набувати всіх цілих та напівцілих значень менших або рівних одиниці: <math>N \le 1</math>
 
[[Категорія:Диференціальна геометрія]]
511

редагувань