Відмінності між версіями «Гіперповерхня»

4626 байтів додано ,  11 років тому
нема опису редагування
: <math>(13) \qquad \nabla_i \mathbf{n} = \partial_i \mathbf{n} = \mathbf{n}_i</math>
 
Для [[Геодезична лінія|геодезичної лінії]], яку ми розглянемо як [[Крива|криву лінію]]лінію в охоплюючому <math>(n+1)</math>-вимірному евклідовому просторі, вектор нормалі до гіперповерхні <math>\mathbf{n}</math> буде збігатися з головним вектором нормалі до кривої, якщо число <math>k</math> в формулі (7а) додатнє, або буде протилежним вектором (якщо <math>k < 0</math>). Знайдемо кручення геодезичної <math>\boldsymbol{\varkappa}</math>:
: <math>(14) \qquad {d \mathbf{n} \over d s} = - k \boldsymbol{\tau} + \boldsymbol{\varkappa}</math>
: <math>(15) \qquad {d \mathbf{n} \over d s} = \mathbf{n}_i {d u^i \over d s} = \mathbf{n}_i \tau^i = - b^i_j \tau^j \mathbf{r}_i</math>
 
Симетричний тензор <math>b_{ij}</math> в дотичному в точці <math>P</math> до гіперповерхні векторному просторі задає лінійне перетворення:
: <math>(1418) \qquad y_i = b_i^j x_j</math>
і ми можемо поставити задачу на власні числа і вектори цього перетворення. Спочатку перейдемо в систему координат, яка буде прямокутною декартовою в точці <math>P</math> (дивіться [[Майже декартові координати в точці многовида]]). Оскільки метричний тензор в цій точці одиничний (<math>g_{ij} = \delta_{ij}</math>), то коваріантні і контраваріантні координати тензора <math>b_{ij}</math> будуть однакові, тому перетворення (1418) здійснюється симетричною матрицею <math>b_i^j</math>. Як відомо з теорії матриць, симетрична матриця має <math>n</math> взаємно ортогональних власних векторів <math>\boldsymbol{\tau}^{(s)}, \; s = 1, 2, \dots n</math> (ми можемо їх вважати також одиничними), причому всі відповідні їм власні числа є дійсними числами <math>k^{(s)}</math> (що можуть бути як додатніми так і від'ємними).
В обраній системі координат маємо:
: <math>(1519) \qquad b_i^j \tau_j^{(s)} = k^{(s)} \tau_i^{(s)} </math>
: <math>(1620) \qquad \sum_i \tau_i^{(s)} \tau_i^{(p)} = (\boldsymbol{\tau}^{(s)} \cdot \boldsymbol{\tau}^{(p)}) = \delta^{sp} = \begin{cases}1, & s=p \\ 0, & s \ne p \end{cases}</math>
Формула (1519) має тензорний характер, а тому справедлива в будь-якій системі координат, так само і ортогональність власних векторів (1620) можна записати в будь-якій системі координат через метричний тензор:
: <math>(1621) \qquad g^{ij} \tau_i^{(s)} \tau_j^{(p)} = g_{ij} \tau^{(s) i} \tau^{(p) j} = \delta^{sp}</math>
 
По формулі (7a) ми можемо знайти кривину геодезичної лінії, що проведена паралельно одному з власних векторів <math>\boldsymbol{\tau}^{(s)}</math>:
: <math>(1722) \qquad k = b_{ij} \tau^{(s) i} \tau^{(s) j} = k^{(s)} \tau_j^{(s)} \tau^{(s) j} = k^{(s)}</math>
Власні числа <math>k^{(1)}, k^{(2)}, \dots k^{(n)}</math> називаються головними кривинами гіперповерхні, а відповідні їм власні вектори - головними напрямками.
 
В системі координат, яка в точці <math>P</math> гіперповерхні має координатні вектори <math>\mathbf{r}_i</math> що співпадають з головними напрямками, матриця тензора повної кривини <math>b_{ij} = b_i^j</math> буде діагональною:
: <math>(1823) \qquad B = (b_{ij}) = \begin{bmatrix} k^{(1)} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & k^{(2)} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \ddots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & k^{(n)} \end{bmatrix}</math>
Те ж саме можна записати в тензорних позначеннях:
: <math>(1924) \qquad b_{ij} = k^{(i)} \delta_{ij}</math>
в цій формулі додавання по індексу <math>i</math> не проводиться.
 
Запишемо спектральний розклад тензора <math>b_{ij}</math>, користуючись власними числами і векторами. В довільній системі координат маємо:
: <math>(2025) \qquad b_{ij} = \sum_{s} k^{(s)} \tau^{(s)}_i \tau^{(s)}_j</math>
 
== Рівняння Петерсона-Кодацці ==
 
Розглянемо дію комутатора коваріантних похідних на координатні вектори:
: <math>(2126) \qquad [\nabla_j \nabla_k] \mathbf{r}_i = - R^s_{\,ijk} \mathbf{r}_s</math>
Цей комутатор ми можемо записати через тензор повної кривини:
: <math>(2227) \qquad [\nabla_j \nabla_k] \mathbf{r}_i = \nabla_j (\nabla_k \mathbf{r}_i) - \nabla_k (\nabla_j \mathbf{r}_i) = \nabla_j \mathbf{b}_{ki} - \nabla_k \mathbf{b}_{ji} = </math>
: <math>\qquad = (\nabla_j \mathbf{n}) b_{ki} + \mathbf{n} \nabla_j b_{ki} - (\nabla_k \mathbf{n}) b_{ji} - \mathbf{n} \nabla_k b_{ji} = -(b^s_j b_{ki} - b^s_k b_{ji}) \mathbf{r}_s + \mathbf{n} (\nabla_j b_{ki} - \nabla_k b_{ji})</math>
Порівнюючи формули (2126) і (2227) знаходимо:
: <math>(2328) \qquad R^s_{\,ijk} = b^s_j b_{ki} - b^s_k b_{ji}, \qquad R_{ijkl} = b_{ik} b_{jl} - b_{il} b_{jk}</math>
: <math>(2429) \qquad \nabla_j b_{ki} = \nabla_k b_{ji}</math>
Рівняння (2429) називається рівнянням Петерсона-Кодацці. Цю рівність можна трактувати таким чином: коваріантна похідна тензора повної кривини для гіперповерхні є симетричним тензором з трьома індексами:
: <math>(2530) \qquad \nabla_i b_{jk} = b_{ijk}</math>
 
== Тензор внутрішньої кривини ==
 
Підставимо в формулу (2328) спектральний розклад (2025). Знаходимо тензор Рімана:
: <math>(2631) \qquad R_{ijkl} = b_{ik} b_{jl} - b_{il} b_{jk} = \sum_{p,s} \left ( k^{(p)} \tau^{(p)}_i \tau^{(p)}_k k{(s)} \tau^{(s)}_j \tau^{(s)}_l - k^{(p)} \tau^{(p)}_i \tau^{(p)}_l k{(s)} \tau^{(s)}_j \tau^{(s)}_k \right ) =</math>
: <math>\qquad = \sum_{p, s} k^{(p)} k^{(s)} \tau^{(p)}_i \tau^{(s)}_j \left ( \tau^{(p)}_k \tau^{(s)}_l - \tau^{(p)}_l \tau^{(s)}_k \right )</math>
 
Введемо позначення бівектора - орієнтованої площадки <math>\boldsymbol{\sigma}^{(ps)}</math>, побудованої на двох векторах головних напрямків:
: <math>(2732) \qquad \boldsymbol{\sigma}^{(ps)} = \boldsymbol{\tau}^{(p)} \wedge \boldsymbol{\tau}^{(s)}</math>
або те саме в компонентах:
: <math>(2833) \qquad \sigma^{(ps)}_{ij} = \tau^{(p)}_i \tau^{(s)}_j - \tau^{(p)}_j \tau^{(s)}_i</math>
Ці бівектори мають одиничну площу і взаємно ортогональні:
: <math>(2934) \qquad |\boldsymbol{\sigma}^{(ps)}| = |\boldsymbol{\tau}^{(p)}| |\boldsymbol{\tau}^{(s)}| \sin \phi = 1</math>
: <math>(3035) \qquad \sigma^{(ps)}_{ij} \sigma^{(kl)\, ij} = 0, \; \mbox{if } (ps) \ne (kl)</math>
 
В правій частині формули (2631) діагональні доданки з однаковими індексами (<math>p=s</math>) дорівнюють нулю, а недіагональні розбиваються на дві однакові по кількості групи: доданки з <math>p < s</math>, і доданки з <math>p > s</math>. Тому формулу (2631) можна переписати так:
: <math>(3136) \qquad R_{ijkl} = \sum_{p < s} k^{(p)} k^{(s)} \sigma^{(ps)}_{ij} \sigma^{(ps)}_{kl}</math>
Із формули (3136) і властивості [[Бівектор|бівектора]] легко видно, що має виконуватися алгебраїчна тотожність Біанкі. Адже для будь-якого бівектора <math>\sigma){ij}</math> (орієнтованої площадки) маємо тотожність:
: <math>(37) \qquad \sigma_{ij} \sigma_{kl} + \sigma_{jk} \sigma_{il} + \sigma_{ki} \sigma_{jl} = 0</math>
 
В системі координат, що побудована на головних напрямках гіперповерхні, власні вектори мають координати:
: <math>(3238) \qquad \tau^{(s)}_i = \delta^s_i, \qquad \boldsymbol{\tau}^{(s)} = \{0, 0, \dots 1, 0, \dots 0 \}</math>
Тут у виразі в дужках одиниця стоїть на <math>s</math>-тому місці, а решта координат дорівнюють нулю.
 
Легко можна записати і координати бівекторів <math>\sigma^{(ps)}_{ij}</math>, скориставшись формулами (33):
: <math>(39) \sigma^{(ps)}_{ij} = \begin{cases} 1, & i=p, \, j = s \\ -1, & i = s, \, j=p \\ 0, & \mbox{for any other } i, j \end{cases}</math>
 
Із (39) і (36) знаходимо ненульові компоненти тензора Рімана:
: <math>(40) \qquad R_{ijij} = -R_{ijji} = k^{(i)} k^{(j)}, \qquad i \ne j</math>
 
Далі, оскільки в обраній системі координат метричний тензор дорівнює одиничній матриці, знаходимо тензор Річчі і скалярну кривину:
: <math>(41) \qquad R_{ij} = \sum_{s} R_{isjs}=0, \qquad \mbox{if } i \ne j</math>
: <math>(41a) \qquad R_{ii} = \sum_{j \ne i} R_{ijij} = k^{(i)} \sum_{j \ne i} k^{(j)}</math>
: <math>(42) \qquad R = \sum_{i, j \over i \ne j} k^{(i)} k^{(j)} = 2 \sum_{i < j} k^{(i)} k^{(j)}</math>
 
 
== Відображення в одиничну гіперсферу ==
 
Для кожної точки гіперповерхні <math> \mathbf{r} = \mathbf{r}(u^1, u^2, \dots u^n) </math> маємо одиничний вектор нормалі <math> \mathbf{n} = \mathbf{n}(u^1, u^2, \dots u^n) </math> (формула 3), який ми відкладемо від початку декартової системи координат в евклідовому <math>(n + 1)</math>-вимірному просторі. Кінець цього вектора (точка) лежить на гіперсфері одиничного радіуса. Задамось питанням, яким може бути на цій гіперсфері образ всієї нашої гіперповерхні.
 
Якщо наша гіперповерхня плоска, то її образом буде лише одна точка на гіперсфері. Образом циліндра або конуса буде лінія на гіперсфері (коло - для кругового циліндра чи конуса). В більш загальному випадку це буде деяка область на гіперсфері, яка може зокрема покривати і всю гіперсферу, навіть і неоднократно. Отже для замкнутого многовида ми маємо деяку цілочислену характеристику - скільки разів його образ покриває одиничну гіперсферу. Очевидно, що при малих деформаціях многовида ця характеристика не змінюється і є топологічним інваріантом гіперповерхні. Поставимо за мету вивести інтегральну формулу для обчислення цього інваріанта.
 
Для цього нам потрібна формула для перетворення об'ємів при відображенні в одиничну сферу.
 
Спочатку розглянемо маленький відрізок на многовиді, який ми представимо вектором <math>d \mathbf{r} = \mathbf{r}_i d u^i</math>. Його образом на гіперсфері буде відрізок:
: <math>(43) \qquad d \mathbf{n} = \mathbf{n}_i d u^i = - (b_i^j u^i) \mathbf{r}_j</math>
 
Тепер ми можемо розглянути паралелепіпед, побудований на <math>n</math> векторах:
: <math>(44) \qquad (d \mathbf{r})^{(1)} = \mathbf{r}_1 d u^1, \, (d \mathbf{r})^{(2)} = \mathbf{r}_2 d u^2, \dots (d \mathbf{r})^{(n)} = mathbf{r}_n d u^n<\math>
Обєм цього паралелепіпеда буде величиною мультивектора, складеного з цих векторів:
: <math> (45) \qquad d \boldsymbol{\tau}^{(\mathbf{r})} = (\mathbf{r}_1 \wedge \mathbf{r}_2 \wedge \cdots \wedge \mathbf{r}_n) d u^1 d u^2 \cdots d u^n</math>
 
[[Категорія:Диференціальна геометрія]]
511

редагувань