Відмінності між версіями «Гіперповерхня»

1406 байтів додано ,  11 років тому
: <math>(12) \qquad \mathbf{n}_i = - b_i^j \mathbf{r}_j</math>
 
Відмітимо, що вектор <math>\mathbf{n}</math> ортогональний до координат на многовиді, а тому його коваріннтнаковаріантна похідна співпадає з частинною похідною (подібно до градієнта скаляра):
: <math>(13) \qquad \nabla_i \mathbf{n} = \partial_i \mathbf{n} = \mathbf{n}_i</math>
 
Для [[Геодезична лінія|геодезичної лінії]], яку ми розглянемо як [[Крива|криву]]лінію в охоплюючому <math>(n+1)</math>-вимірному евклідовому просторі, вектор нормалі до гіперповерхні <math>\mathbf{n}</math> буде збігатися з головним вектором нормалі до кривої, якщо число <math>k</math> в формулі (7а) додатнє, або буде протилежним вектором (якщо <math>k < 0</math>). Знайдемо кручення геодезичної <math>\boldsymbol{\varkappa}</math>:
: <math>(14) \qquad {d \mathbf{n} \over d s} = - k \boldsymbol{\tau} + \boldsymbol{\varkappa}</math>
: <math>(15) \qquad {d \mathbf{n} \over d s} = \mathbf{n}_i {d u^i \over d s} = \mathbf{n}_i \tau^i = - b^i_j \tau^j \mathbf{r}_i</math>
: <math>(16) \qquad \boldsymbol{\varkappa} = {d \mathbf{n} \over d s} + k \boldsymbol{\tau} = (- b^i_j \tau^j + k \tau^i) \mathbf{r}_i</math>
Із формули (16) ми бачимо, що кручення геодезичної лінії буде дорівнювати нулю, якщо вектор дотичної <math>\tau^i</math> буде власним вектором матриці <math>b^i_j</math>:
: <math>(17) \qquad b^i_j \tau^j = k \tau^i</math>
 
== Головні кривини і напрямки гіперповерхні ==
511

редагувань