Інтуїціонізм: відмінності між версіями

У интуиционистской математиці судження вважається істинним, лише якщо його можна [[Доведення|довести]]. Тобто істинність твердження «Існує об'єкт x, для якого вірно судження A(x) » доводиться побудовою такого об'єкта, а істинність твердження «A або B»доводиться або доказом істинності твердження A, або доказом істинності твердження B. Звідси, зокрема, випливає, що твердження«A або НЕ A»може бути не істинним, а [[Закон виключеного третього|закон виняток третього]] неприйнятний. Істинним математичним судженням є ряд виконаних побудов ефективного характеру з використанням [[интуиционистской логіки]]. Ефективність не обов'язково пов'язана з наявністю [[Алгоритм|алгоритму]] і може залежати від фізичних та історичних чинників, фактичного вирішення проблем<ref>Виноградов И. М. Интуиционизм // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 2.</ref>.

Основними об'єктами дослідження интуиционистской математики є [[конструктивні об'єкти]]: [[Натуральні числа|натуральні]] та [[Раціональні числа|раціональні числа]], [[Скінченна множина|кінцеві безлічі]] конструктивних об'єктів зі списком елементів, вільно що стають послідовності (послідовності вибору, кожний член яких може бути ефективно доступний), інтуїционістському види (властивості, якими можуть володіти об'єкти дослідження). Вільно що стають послідовності розрізняють залежно від ступеня інформації, відомої досліднику. Якщо закон формування послідовності відомий повністю, то її називають заданої законом, якщо відомий лише початковий відрізок — беззаконної. Види будуються в ієрархію, коли елементи виду визначаються незалежно від самого виду, що дозволяє уникати [[Антиномія|антиномій]]. Види рідко є об'єктами дослідження, більшість результатів интуиционистской математики можна отримати без їх використання<ref>Виноградов И. М. Интуиционизм // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 2.</ref>.

У класичній математики на нескінченні множесто [[Екстраполяція|екстраполювали]] властивості та закони кінцевих сукупностей. При цьому не існує способу ефективної побудови об'єктів, що знаходить своє відображення в так званих «теоремах чистого існування». Відсутність можливості побудови не має зв'язку з [[Антиномія|антиноміями]] теорії множин та відноситься до всіх розділів математики<ref>Виноградов И. М. Интуиционизм // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 2.</ref>.

Значне вплив один на одного зробили концепції формалізму та интуиционизма. Змістовні критерії метаматематики, необхідні для обґрунтування несуперечності формальних теорій, зазвичай уточнюються в рамках интуиционизма. Водночас, ряд результатів интуиционистской логіки був отриманий за допомогою [[формалізації методу]]<ref>Виноградов И. М. Интуиционизм // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 2.</ref>.

У широкому трактуванні конструктивний напрям математики можна розглядати як частину интуиционистской математики<ref>Виноградов И. М. Интуиционизм // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 2.</ref>.

Критика теории множеств привела к возникновению двух течений: интуиционизма [[Лейтзен Егберт Ян Брауер|Лёйтзена Эгберта Яна Брауэра]] и формализма [[Давид Гільберт|Давида Гильберта]]. В 1904 году Л. Э. Я. Бауэр подверг развёрнутой критике ряд концепций классической математики. Его внимание привлёк статус существования: можно ли потенциально построить такие объекты исследования как неизмеримое множество действительных чисел, нигде не дифференцируемая функция? Можно ли полагать, что в окружающем мире существуют бесконечные множества объектов<ref>Виноградов И. М. Интуиционизм // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 2.</ref>?

Интуиционистская математика в идеалистической трактовке Бауэра — это убедительность мысленных построений, не связанная вопросом существования объектов. Другая трактовка — это «наглядная умственная убедительность простейших конструктивных процессов реальной действительности». Бауэр возражал против формализации интуиционизма<ref>Виноградов И. М. Интуиционизм // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 2.</ref>.