Вікіпедія

Диференційовний многовид: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
[неперевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Немає опису редагування
Рядок 1:
'''Диференційовний многовидбагатовид''' — локально [[евклідовий простір]], наділений [[диференціальна структура|диференціальною структурою]]. Диференціальні многовидибагатовиди є природною базою для побудови [[диференціальна геометрія|диференціальної геометрії]]. Там на диференціальних многовидахбагатовидах вводяться додаткові інфінітезімальні структури — орієнтація, [[метрика]], зв'язність і т. д., і вивчаються ті властивості, пов'язані з цими об'єктами, що є інваріантними щодо групи [[дифеоморфізм]]ів, зберігаючих додаткову структуру. З другого боку, використання тієї або іншої структури дозволяє досліджувати будову самого диференціального многовидубагатовиду. Простий приклад - вираз характеристичних класів через кривину диференціального многовидубагатовиду, наділеного лінійною зв'язністю.
 
== Визначення ==
Нехай ''X'' — [[гаусдорфів простір|гаусдорфів топологічний простір]]. Якщо для кожної точки <math>x \in X</math> знайдеться її окіл ''U'' гомеоморфний [[відкрита множина|відкритій множині]] простору <math>\R^n</math>, то ''X'' називається локально евклідовим простором, або топологічним многовидомбагатовидом розмірності ''n''. Пара <math>(U, \phi)\,</math>, де <math>\phi\,</math> — вказаний [[гомеоморфізм]], називається локальною картою ''X'' в точці ''х''. Таким чином, кожній точці відповідає набір ''n'' [[дійсне число|дійсних чисел]] <math>(x^1, \ldots, x^n)</math>, що називаються координатами в карті <math>(U, \phi)</math>. Множина карт <math>\{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}, \alpha \in A,</math> називається n-вимірним <math>C^k</math>-[[атлас (математика)|атласом]] <math>(0 \leqslant k \leqslant \infty, a)</math> многовидубагатовиду X, якщо: ▼
 
▲Нехай ''X'' — [[гаусдорфів простір|гаусдорфів топологічний простір]]. Якщо для кожної точки <math>x \in X</math> знайдеться її окіл ''U'' гомеоморфний [[відкрита множина|відкритій множині]] простору <math>\R^n</math>, то ''X'' називається локально евклідовим простором, або топологічним многовидом розмірності ''n''. Пара <math>(U, \phi)\,</math>, де <math>\phi\,</math> — вказаний [[гомеоморфізм]], називається локальною картою ''X'' в точці ''х''. Таким чином, кожній точці відповідає набір ''n'' [[дійсне число|дійсних чисел]] <math>(x^1, \ldots, x^n)</math>, що називаються координатами в карті <math>(U, \phi)</math>. Множина карт <math>\{(U_\alpha, \phi_\alpha)\}, \alpha \in A,</math> називається n-вимірним <math>C^k</math>-[[атлас (математика)|атласом]] <math>(0 \leqslant k \leqslant \infty, a)</math> многовиду X, якщо:
* сукупність всіх <math>U_\alpha</math> покриває ''X'', <math>X = \cup_{\alpha \in A} U_\alpha</math>
* для будь-яких <math>\alpha, \beta \in A</math> таких, що <math>U_\alpha \cup U_\beta \neq \varnothing</math>, відображення:
Рядок 10 ⟶ 9:
є диференційовним класу <math>C^k</math>; <math>\phi\,</math> є відображенням, з відмінним від нуля [[якобіан]]ом і називається перетворенням координат точки ''х'' з карти <math>(U_\alpha, \phi_\alpha)\,</math> в карту <math>(U_\beta, \phi_\beta)\,.</math>
 
Два <math>C^k</math>-атласи називаються еквівалентними, якщо їх об'єднання знову є <math>C^k</math>-атласом. Сукупність <math>C^k</math>-атласів розбивається на [[класи еквівалентності]], які називаються <math>C^k</math>-структурами, при <math>1 \leqslant k \leqslant \infty</math> — диференціальними (або гладкими) структурами, при ''k = a'' — аналітичними структурами. Топологічний многовидбагатовид ''X'', наділений <math>C^k</math>-структурою називається <math>C^k</math>-многовидомбагатовидом, або диференційовним многовидомбагатовидом класу <math>C^k</math>.
 
=== Комплексні многовиди ===▼
 
▲=== Комплексні многовидибагатовиди ===
Задачі [[аналітична геометрія|аналітичної]] і [[алгебраїчна геометрія|алгебраїчної геометрії]] приводять до необхідності розгляду у визначенні диференціальної структури замість простору <math>\R^n</math> загальніших просторів <math>\C^n</math> або навіть <math>K^n\,</math>, де ''K'' — повне недискретне нормоване поле. Так, у випадку <math>K = \C</math> відповідна <math>C^k</math>-структура, <math>k \geqslant 1</math>, неодмінно виявляється аналітичною структурою, вона називається комплексно аналітичною, або просто комплексною, а відповідний диференційовний многовидбагатовид — комплексним многовидомбагатовидом. При цьому на будь-якому такому многовидібагатовиді є і природна дійсна аналітична структура.
=== Сумісні структури ===
На будь-якому аналітичному многовидібагатовиді існує узгоджена з нею <math>C^\infty</math>-структура, і на <math>C^k</math>-многовидібагатовиді, <math>0 \leqslant k \leqslant \infty</math>, — <math>C^r</math>-структура, якщо <math>0 \leqslant r \leqslant k</math>. Навпаки, будь-який [[паракомпактний простір|паракомпактний]] <math>C^r</math>-многовидбагатовид, <math>r \geqslant 1</math>, можна наділити аналітичною структурою, сумісною із заданою, причому ця структура (з точністю до ізоморфізму) єдина. Може, проте, трапитися, що <math>C^0</math>-многовидбагатовид не можна наділити <math>C^1</math>-структурою, а якщо це вдається то така структура може бути не єдиною. Наприклад число θ(n) <math>C^1</math>-неізоморфних <math>C^\infty</math>-структур на ''n''-вимірній сфері рівно: ▼
 
▲На будь-якому аналітичному многовиді існує узгоджена з нею <math>C^\infty</math>-структура, і на <math>C^k</math>-многовиді, <math>0 \leqslant k \leqslant \infty</math>, — <math>C^r</math>-структура, якщо <math>0 \leqslant r \leqslant k</math>. Навпаки, будь-який [[паракомпактний простір|паракомпактний]] <math>C^r</math>-многовид, <math>r \geqslant 1</math>, можна наділити аналітичною структурою, сумісною із заданою, причому ця структура (з точністю до ізоморфізму) єдина. Може, проте, трапитися, що <math>C^0</math>-многовид не можна наділити <math>C^1</math>-структурою, а якщо це вдається то така структура може бути не єдиною. Наприклад число θ(n) <math>C^1</math>-неізоморфних <math>C^\infty</math>-структур на ''n''-вимірній сфері рівно:
 
{| align="center" class="standard"
Рядок 67 ⟶ 64:
 
=== Відображення ===
Нехай <math>f : X \to Y</math> — [[неперервне відображення]] <math>C^r</math>-многовидівбагатовидів ''X, Y''; воно називається <math>C^k</math>-морфізмом (або <math>C^k</math>-відображенням, <math>k \leqslant r</math>, або відображенням класу <math>C^k</math>) диференційовних многовидівбагатовидів, якщо для будь-якої пари карт <math>(U_\alpha, \phi_\alpha)\,</math> на ''X'' і <math>(V_\beta, \psi_\beta)\,</math> на ''Y'' такої, що <math>f(U_\alpha) \subset V_\beta</math> і відображення: ▼
 
▲Нехай <math>f : X \to Y</math> — [[неперервне відображення]] <math>C^r</math>-многовидів ''X, Y''; воно називається <math>C^k</math>-морфізмом (або <math>C^k</math>-відображенням, <math>k \leqslant r</math>, або відображенням класу <math>C^k</math>) диференційовних многовидів, якщо для будь-якої пари карт <math>(U_\alpha, \phi_\alpha)\,</math> на ''X'' і <math>(V_\beta, \psi_\beta)\,</math> на ''Y'' такої, що <math>f(U_\alpha) \subset V_\beta</math> і відображення:
 
:<math>\psi_\beta \circ f \circ\phi^{-1}_\alpha : \phi_\alpha (U_\alpha) \to \psi_\beta (V_\beta)</math>
Рядок 74 ⟶ 70:
належить класу <math>C^k</math>. [[бієкція|Бієктивне відображення]] ''f'' таке, що воно і ''f''<sup>-1</sup> є <math>C^k</math>-відображеннями, називається <math>C^k</math>-ізоморфізмом (або дифеоморфізмом). В цьому випадку ''X'' і ''Y'' і їх <math>C^r</math>-структури називаються <math>C^k</math>-ізоморфними.
 
== ПідмноговидиПідбагатовиди і вкладення ==
Підпростір ''Y'' ''n''-вимірного <math>C^k</math>-многовидубагатовиду ''X'' називається <math>C^k</math>- підмноговидомпідбагатовидом розмірності ''m'' у ''X'', якщо для довільної точки <math>y \in Y</math> існують її окіл <math>V \subset Y</math> і карта <math>(U, \phi)\,</math> <math>C^k</math>-структури ''X'' такі, що <math>V \subset Y</math> і <math>\phi</math> індукує гомеоморфізм ''V'' на перетин <math>\phi (U \cap Y)</math> з (замкнутим) підпростором <math>\R^m \subset \R^n</math>; іншими словами, існує карта з координатами <math>(x^1, \ldots, x^n)</math> така, що <math>(U \cap Y)</math> визначається співвідношеннями <math>x^{m+1}=, \ldots,= x^n = 0</math>. ▼
▲Підпростір ''Y'' ''n''-вимірного <math>C^k</math>-многовиду ''X'' називається <math>C^k</math>- підмноговидом розмірності ''m'' у ''X'', якщо для довільної точки <math>y \in Y</math> існують її окіл <math>V \subset Y</math> і карта <math>(U, \phi)\,</math> <math>C^k</math>-структури ''X'' такі, що <math>V \subset Y</math> і <math>\phi</math> індукує гомеоморфізм ''V'' на перетин <math>\phi (U \cap Y)</math> з (замкнутим) підпростором <math>\R^m \subset \R^n</math>; іншими словами, існує карта з координатами <math>(x^1, \ldots, x^n)</math> така, що <math>(U \cap Y)</math> визначається співвідношеннями <math>x^{m+1}=, \ldots,= x^n = 0</math>.
Відображення <math>f : X \to Y</math> називається <math>C^k</math>-вкладенням якщо ''f(X)'' є <math>C^k</math>-підмноговидомпідбагатовидом в ''Y'', а <math>X \to f(X)</math> — <math>C^k</math>-дифеоморфізм. Будь-який ''n''-вимірний <math>C^k</math>-многовидбагатовид допускає вкладення в <math>\R^{2n + 1}</math> і навіть в <math>\R^{2n}.</math> Більш того, множина таких вкладень є всюди щільною у просторі відображень <math>C^k(X,\R^{2n+1})</math> щодо компактно-відкритої топології. Тим самим, розгляд диференційовних многовидівбагатовидів, як підмноговидівпідбагатовидів [[евклідовий простір|евклідового простору]] дає один із способів вивчення їх теорії, цим шляхом встановлюються, наприклад, вказані вище теореми про аналітичні структури.
 
== Див. також ==
* [[Атлас (математика)]]▼
*[[Многовид]]
* [[Багатовид]]
▲*[[Атлас (математика)]]
* [[Дифеоморфізм]]
 
== Посилання ==
* Пришляк О.Пришляк [http://www.imath.kiev.ua/~prish/stud/Prish-DG.pdf Диференціальна геометрія : Курс лекцій.] – К.: Видавничо-поліграфічний центр ''Київський університет'', 2004. – 68 с.
== Література ==
*де Рам''Бурбаки ЖН.,'' Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 19561975; ▼
*Понтрягин Л. С, Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976; ▼
*Бурбаки Н''де Рам Ж.,'' Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 19751956;
* ''Ленг С,.'' Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967; ▼
▲*де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, пер. с франц., М., 1956;
* ''Нарасимхан Р.,'' Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ.. М., 1971; ▼
▲*Ленг С, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967;
▲* ''Понтрягин Л. С,.'' Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, 2 изд., М., 1976;
*Рохлин В. А., Фукс Д. Б.. Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977; ▼
* ''Постников М. М.,'' Введение в теорию Морса, М., 1971; ▼
*Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960;▼
▲* ''Рохлин В. А., Фукс Д. Б..'' Начальный курс топологии. Геометрические главы, М., 1977;
▲*Постников М. М., Введение в теорию Морса, М., 1971;
▲* ''Уитни X.,'' Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960;
▲*Нарасимхан Р., Анализ на действительных и комплексных многообразиях, пер. с англ.. М., 1971;
* ''Уэллс Р.,'' Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях, пер. с англ., М., 1976;
 
{{^}}{{ВП-портали|Математика}}
[[Категорія:Многовиди]]▼
 
▲[[Категорія:МноговидиБагатовиди]]
[[ca:Varietat diferenciable]]
[[en:Differentiable manifold]]
[[nl:Differentieerbare variëteit]]
[[ru:Дифференцируемое многообразие]]
[[zh:微分流形]]
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Диференційовний_многовид