Відмінності між версіями «Гіперповерхня»

1667 байтів додано ,  11 років тому
нема опису редагування
Із формул (9-11) одержуємо наступну формулу для обчислення похідних одиничного вектора нормалі через тензор повної кривини:
: <math>(12) \qquad \mathbf{n}_i = - b_i^j \mathbf{r}_j</math>
 
Відмітимо, що вектор <math>\mathbf{n}</math> ортогональний до координат на многовиді, а тому його коваріннтна похідна співпадає з частинною похідною (подібно до градієнта скаляра):
: <math>(13) \qquad \nabla_i \mathbf{n} = \partial_i \mathbf{n} = \mathbf{n}_i</math>
 
== Головні кривини і напрямки гіперповерхні ==
 
Симетричний тензор <math>b_{ij}</math> в дотичному в точці <math>P</math> до гіперповерхні векторному просторі задає лінійне перетворення:
: <math>(1314) \qquad y_i = b_i^j x_j</math>
і ми можемо поставити задачу на власні числа і вектори цього перетворення. Спочатку перейдемо в систему координат, яка буде прямокутною декартовою в точці <math>P</math> (дивіться [[Майже декартові кординати в точці многовида]]). Оскільки метричний тензор в цій точці одиничний (<math>g_{ij} = \delta_{ij}</math>), то коваріантні і контраваріантні координати тензора <math>b_{ij}</math> будуть однакові, тому перетворення (1314) здійснюється симетричною матрицею <math>b_i^j</math>. Як відомо з теорії матриць, симетрична матриця має <math>n</math> взаємно ортогональних власних векторів <math>\boldsymbol{\tau}^{(s)}, \; s = 1, 2, \dots n</math> (ми можемо їх вважати також одиничними), причому всі відповідні їм власні числа є дійсними числами <math>k^{(s)}</math> (що можуть бути як додатніми так і від'ємними).
В обраній системі координат маємо:
: <math>(1415) \qquad b_i^j \tau_j^{(s)} = k^{(s)} \tau_i^{(s)} </math>
: <math>(1516) \qquad \sum_i \tau_i^{(s)} \tau_i^{(p)} = (\boldsymbol{\tau}^{(s)} \cdot \boldsymbol{\tau}^{(p)}) = \delta^{sp} = \begin{cases}1, & s=p \\ 0, & s \ne p \end{cases}</math>
Формула (1415) має тензорний характер, а тому справедлива в будь-якій системі координат, так само і ортогональність власних векторів (1516) можна записати в будь-якій системі координат через метричний тензор:
: <math>(1516) \qquad g^{ij} \tau_i^{(s)} \tau_j^{(p)} = g_{ij} \tau^{(s) i} \tau^{(p) j} = \delta^{sp}</math>
 
По формулі (7a) ми можемо знайти кривину геодезичної лінії, що проведена паралельно одному з власних векторів <math>\boldsymbol{\tau}^{(s)}</math>:
: <math>(1617) \qquad k = b_{ij} \tau^{(s) i} \tau^{(s) j} = k^{(s)} \tau_j^{(s)} \tau^{(s) j} = k^{(s)}</math>
Власні числа <math>k^{(1)}, k^{(2)}, \dots k^{(n)}</math> називаються головними кривинами гіперповерхні, а відповідні їм власні вектори - головними напрямками.
 
В системі координат, яка в точці <math>P</math> гіперповерхні має координатні вектори <math>\mathbf{r}_i</math> що співпадають з головними напрямками, матриця тензора повної кривини <math>b_{ij} = b_i^j</math> буде діагональною:
: <math>(1718) \qquad B = (b_{ij}) = \begin{bmatrix} k^{(1)} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & k^{(2)} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \ddots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & k^{(n)} \end{bmatrix}</math>
 
== Рівняння Петерсона-Кодацці ==
 
Розглянемо дію комутатора коваріантних похідних на координатні вектори:
: <math>(19) \qquad [\nabla_j \nabla_k] \mathbf{r}_i = - R^s_{\,ijk} \mathbf{r}_s</math>
Цей комутатор ми можемо записати через тензор повної кривини:
: <math>(20) \qquad [\nabla_j \nabla_k] \mathbf{r}_i = \nabla_j (\nabla_k \mathbf{r}_i) - \nabla_k (\nabla_j \mathbf{r}_i) = \nabla_j \mathbf{b}_{ki} - \nabla_k \mathbf{b}_{ji} = </math>
: <math>\qquad = (\nabla_j \mathbf{n}) b_{ki} + \mathbf{n} \nabla_j b_{ki} - (\nabla_k \mathbf{n}) b_{ji} - \mathbf{n} \nabla_k b_{ji} = -(b^s_j b_{ki} - b^s_k b_{ji}) \mathbf{r}_s + \mathbf{n} (\nabla_j b_{ki} - \nabla_k b_{ji})</math>
Порівнюючи формули (19) і (20) знаходимо:
: <math>(21) \qquad R^s_{\,ijk} = b^s_j b_{ki} - b^s_k b_{ji}, \qquad R_{ijkl} = b_{ik} b{jl} - b{il} b{jk}</math>
: <math>(22) \qquad \nabla_j b_{ki} = \nabla_k b_{ji}</math>
Рівняння (22) називається рівнянням Петерсона-Кодацці.
 
 
 
511

редагувань