Відмінності між версіями «Гіперповерхня»

2487 байтів додано ,  11 років тому
нема опису редагування
½'''Гіперповерхнею''' називається [[многовид]] розмірності <math>n</math>, який є підмножиною [[евклідів простір|евклідового простору]] на одиницю більшої розмірності <math>n+1</math>.
 
== Одиничний вектор нормалі ==
і того факту, що існує лише один напрям <math>\mathbf{n}</math>, ортогональний до векторів <math>\mathbf{r}_i</math>, слідує, що всі вектори <math>\mathbf{b}_{ij}</math> колінеарні вектору <math>\mathbf{n}</math>, тобто ми можемо записати:
: <math>(6) \qquad \mathbf{b}_{ij} = \mathbf{n} b_{ij}</math>
Числа <math>b_{ij}</math> є проекціями векторів <math>\mathbf{b}_{ij}</math> на вектор нормалі <math>\mathbf{n}</math>, а тому можуть бути як додатніми так і від'ємними.
Відповідно до формули (6), кривина всіх геодезичних ліній, що проходять через фіксовану точку <math>P</math> многовиду, паралельна вектору <math>\mathbf{n}</math> (центри кривини лежать на прямій, що ортогональна до многовиду):
: <math>(7) \qquad \mathbf{k} = \mathbf{b}_{ij} \tau^i \tau^j = \mathbf{n} b_{ij} \tau^i \tau^j = \mathbf{n} k</math>
: <math>(7a) \qquad k = b_{ij} \tau^i \tau^j</math>
 
== Похідні вектора нормалі ==
 
Диференціювання по координатам многовида формули (4) дає:
: <math>(8) \qquad {\partial \over \partial u^i} \mathbf{n}^2 = 2 (\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}_i) = 0</math>
тобто похідні одиничного вектора нормалі <math>\mathbf{n}_i = {\partial \mathbf{n} \over \partial u^i}</math> ортогональні до самого вектора нормалі <math>\mathbf{n}</math>, а тому лежать в дотичній до многовида гіперплощині. Ми можемо розкласти вектор <math>\mathbf{n}_i</math> по базисних векторах дотичного простору:
: <math>(9) \qquad \mathbf{n}_i = \alpha_i^j \mathbf{r}_j</math>
Знайдемо коефіцієнти розкладу <math>\alpha_i^j</math>. Для цього помножимо ліву і праву частини формули (9) скалярно на вектор <math>\mathbf{r}_k</math>.<br>
Для лівої частини маємо:
: <math>(10) \qquad (\mathbf{n}_i \cdot \mathbf{r}_k) = \partial_i (\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}_k) - (\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}_{ik}) = - b_{ik}</math>
А для правої:
: <math>(11) \qquad \alpha_i^j (\mathbf{r}_j \cdot \mathbf{r}_k) = \alpha_i^j g_{jk} = \alpha_{ik}</math>
Із формул (9-11) одержуємо наступну формулу для обчислення похідних одиничного вектора нормалі через тензор повної кривини:
: <math>(12) \qquad \mathbf{n}_i = - b_i^j \mathbf{r}_j</math>
 
 
 
511

редагувань