Тригонометрія: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Shkod (обговорення | внесок) зображення |
Shkod (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
[[Файл:Fotothek_df_tg_0004503_Geometrie_^_Trigonometrie.jpg|thumb|Титульна сторінка «Тригонометрії» (перевидання 1612 року) В.Пітіска, що дала назву однойменному розділу математики]]
'''Тригономе́трія''' (від {{lang-el|τρίγονο}} — трикутник та ''μετρειν'' — вимірюю, тобто буквально ''вимірювання трикутників'') — розділ [[елементарна математика|елементарної математики]], що лежить на перетині [[алгебра|алгебри]] та [[геометрія|геометрії]] і вивчає співвідношення між сторонами й [[кут]]ами [[трикутник]]ів, дозволяючи проводити кутові [[обчислення]] через спеціально визначені функції кутів.
Рядок 11:
[[Стародавні греки]] вміли розв'язувати багато тригонометричних задач, але вони застосовували геометричні, а не алгебраїчні методи.
|first=Carl B. |last=Boyer|authorlink=Карл Боєр
|title=A History of Mathematics |edition=Second Edition
Рядок 18 ⟶ 19:
</ref>. Подальший внесок у розвиток тригонометрії зробили арабські математики. До [[10 століття]] вони оперували всіма тригонометричними фунціями і протабелювали їх. В [[Європа|Європу]] поняття тригонометричних функцій прийшло з перекладами праць [[аль-Баттані]] та [[Ат-Тусі]]. Однією з перших праць європейської математики, присвячених тригонометрії була книга ''«De Triangulis»'' німецького математика [[15 століття]] [[Регіомонтан]]а. Проте, ще в 16 столітті тригонометрія була мало відома. [[Миколай Коперник]] змушений був посвятити її опису 2 окремих розділи в своїй праці ''«[[Про обертання небесних сфер]]»''.
Швидкий подальший розвиток тригонометрії був зумовлений вимогами [[навігація|навігації]] та [[картографія|картографії]]<ref>{{cite book | last = Grattan-Guinness | first = Ivor | year = 1997 | title = The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences | publisher = W.W. Norton | isbn = 0-393-32030-8}}</ref>. Сам термін ''тригонометрія'' запровадив, опублікувавши в [[1595]] книгу під такою ж назвою, німецький математик [[Варфоломей Пітіск]] ({{lang-de|Bartholomäus Pitiscus}},
Із становленням [[математичний аналіз|математичного аналізу]] тригонометрія отримала нові методи. Завдяки працям [[Брук Тейлор|Брука Тейлора]] та [[Колін Маклорен|Коліна Маклорена]] тригонометричні функції отримали представлення у вигляді [[ряд Тейлора|рядів]]<ref>William Bragg Ewald (2008)."''[http://books.google.com/books?id=AcuF0w-Qg08C&pg=PA93&dq&hl=en#v=onepage&q=&f=false From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics]''". [[Oxford University Press US]]. p.93. ISBN 0-19-850535-3</ref>. [[Формула Муавра]] встановила зв'язок між тригонометричними функціями та [[Показникова функція|експонентою]]. [[Леонард Ейлер]] розширив означення тригонометричних функцій на [[комплексна площина|комплексну площину]].
Рядок 70 ⟶ 71:
== Основні теореми тригонометрії ==
Визначені для прямокутного трикутника тригонометричні функції дозволяють розв'язувати довільні трикутники з використанням основних теорем: [[теорема синусів|теореми синусів]], [[теорема косинусів|теореми косинусів]] й [[теорема тангенсів|теореми тангенсів]].
=== Теорема синусів ===
''[[Теорема синусів]]'' стверджує, що відношення синуса кута до довжини протилежної сторони трикутника однакова для всіх кутів трикутника. Для плоского трикутника зі сторонами <math>a, b, c</math> і відповідними протилежними до них кутами <math>A, B, C</math> можна записати:▼
: <math>\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,</math>
де <math>R</math> — радіус [[описане коло|описаного кола]] навколо трикутника.
: <math>R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}.</math>
=== Теорема косинусів ===
▲[[Теорема синусів]] стверджує, що відношення синуса кута до довжини протилежної сторони трикутника однакова для всіх кутів трикутника.
За ''[[теорема косинусів|теоремою косинусів]]'', квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними. Для плоского трикутника зі сторонами <math>a, b, c</math> і кутом <math>C</math>, між сторонами <math>a, b</math>:
: <math>c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,\,</math>
або:
: <math>\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.\,</math>
=== Теорема тангенсів ===
▲[[Теорема косинусів]] дозволяє визначити довжину третьої сторони трикутника, якщо відомі довжини двох сторін та значення кута між ними.
''[[Теорема тангенсів]]'' — теорема про співвідношення між двома сторонами довільного трикутника і тангенсами півсуми й піврізниці протилежних до них кутів записується рівнянням (формула Регіомонтана):
: <math>\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathop{\operatorname{tg}}\left[\tfrac{1}{2}(A-B)\right]}{\mathop{\operatorname{tg}}\left[\tfrac{1}{2}(A+B)\right]}</math>
=== Площа трикутника ===
[[Площа]] трикутника теж може бути визначена через тригонометричні функції: вона дорівнює половині добутку прилеглих сторін на синус кута між ними : <math>A = \frac{1}{2}ab\cos C .\,</math>
== Найпростіші тригонометричні рівняння ==
| |||