Відмінності між версіями «Гіперповерхня»

нема опису редагування
Нехай гіперповерхня задана параметричними рівняннями:
: <math>(1) \qquad \mathbf{r} = \mathbf{r}(u^1, u^2, \dots u^n)</math>
Будемо скрізь в цій статті вважати функції (1) достатньо гладкими (неперервні другі похідні), з невиродженим метричним тензором <math>g_{ij} = (\mathbf{r}_i \cdot \mathbf{r}_j)</math>.
 
Координатні вектори <math>\mathbf{r}_i = {\partial \mathbf{r} \over \partial u^i}</math> в точці многовида <math>P</math> задають [[Афінний простір|афінний підпростір]] - [[дотична|дотичну]] до многовида гіперплощину. Ортогональним доповненням до гіперплощини є пряма <math>L</math>, що проходить через дану точку многовида і [[перпендикуляр]]на до неї. Виберемо (якийсь один із двох можливих) напрям цієї прямої і відкладемо на прямій одиничний вектор <math>\mathbf{n}</math>. В сусідній (близькій до точки <math>P</math>) точці <math>P'</math> многовида ортогональна пряма <math>L'</math> буде близькою по напрямку до прямої <math>L</math>, тому проекція вектора <math>\mathbf{n}</math> на <math>L'</math> уже однозначно задає додатній напрям на прямій <math>L'</math>. Відкладемо в цьому додатньому напрямку прямої <math>L'</math> одиничний вектор <math>\mathbf{n}'</math>. Таким чином, рухаючись від однієї точки многовида до іншої в деякій області многовида, ми матимемо векторну функцію:
: <math>(2) \qquad \mathbf{n} = \mathbf{n}(P) = \mathbf{n}(u^1, u^2, \dots u^n)</math>
Ця функція буде неперервною (оскільки гіперповерхня (1) гладка, без особливих точок). Спробуємо поширити функцію <math>\mathbf{n} = \mathbf{n}(P)</math> на весь многовид. Це можна зробити в тому випадку, коли рухаючись по будь-якому замкнутому контуру, що лежить в гіперповерхні, почавши з точки <math>P</math> і обчислюючи по неперервності вектор нормалі, ми вернемося в точку <math>P</math> з тим самим напрямком вектора нормалі. Така гіперповерхня називається '''двосторонньою''' або '''орієнтовною'''. Але бувають і такі гіперповерхні, що обійшовши деякий замкнутий контур ми повернемось в точку <math>P</math> з протилежним вектором нормалі. Такі гіперповерхні називають '''односторонніми''' або '''неорієнтовними'''. Прикладами односторонніх гіперповерхонь є стрічка Мебіуса та пляшка Клейна.
 
Із ортогональності вектора нормалі до координатних векторів гіперповерхні маємо рівняння:
: <math>(3) \qquad (\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}_i) = 0</math>
а одинична довжина вектора нормалі описується рівнянням:
: <math>(4) \qquad \mathbf{n}^2 = (\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}) = 1</math>
 
== Тензор повної кривини ==
 
Із розкладу
: <math>(5) \qquad \mathbf{r}_{ij} = \Gamma_{ij}^k \mathbf{r}_k + \mathbf{b}_{ij}</math>
і того факту, що існує лише один напрям <math>\mathbf{n}</math>, ортогональний до векторів <math>\mathbf{r}_i</math>, слідує, що всі вектори <math>\mathbf{b}_{ij}</math> колінеарні вектору <math>\mathbf{n}</math>, тобто ми можемо записати:
: <math>(6) \qquad \mathbf{b}_{ij} = \mathbf{n} b_{ij}</math>
 
 
511

редагувань