Відмінності між версіями «Гіперповерхня»

м
правопис за допомогою AWB
м (Вилучення 10 інтервікі, відтепер доступних на Вікіданих: d:q2721559)
м (правопис за допомогою AWB)
Нехай гіперповерхня задана параметричними рівняннями:
: <math>(1) \qquad \mathbf{r} = \mathbf{r}(u^1, u^2, \dots u^n)</math>
Будемо скрізь в цій статті вважати [[функція (математика)|функції]] (1) достатньо гладкими (неперервні другі похідні), з невиродженим [[метричний тензор|метричним тензором]] <math>g_{ij} = (\mathbf{r}_i \cdot \mathbf{r}_j)</math>.
 
Координатні вектори <math>\mathbf{r}_i = {\partial \mathbf{r} \over \partial u^i}</math> в точці многовида <math>P</math> задають [[Афінний простір|афінний підпростір]] - [[дотична|дотичну]] до многовида гіперплощину. Ортогональним доповненням до гіперплощини є пряма <math>L</math>, що проходить через дану точку многовида і [[перпендикуляр]]на до неї. Виберемо (якийсь один із двох можливих) напрям цієї прямої і відкладемо на прямій [[одиничний вектор]] <math>\mathbf{n}</math>. В сусідній (близькій до точки <math>P</math>) точці <math>P'</math> многовида ортогональна пряма <math>L'</math> буде близькою за напрямком до прямої <math>L</math>, тому [[проекція]] вектора <math>\mathbf{n}</math> на <math>L'</math> уже однозначно задає додатній напрям на прямій <math>L'</math>. Відкладемо в цьому додатньому напрямку прямої <math>L'</math> одиничний вектор <math>\mathbf{n}'</math>. Таким чином, рухаючись від однієї точки многовида до іншої в деякій області многовида, ми матимемо векторну функцію:
: <math>(13) \qquad \nabla_i \mathbf{n} = \partial_i \mathbf{n} = \mathbf{n}_i</math>
 
Для [[Геодезична лінія|геодезичної лінії]], яку ми розглянемо як [[Крива|криву лінію]] в охоплюючому <math>(n+1)</math>-вимірному евклідовому просторі, вектор нормалі до гіперповерхні <math>\mathbf{n}</math> буде збігатися з головним вектором нормалі до кривої, якщо число <math>k</math> в формулі (7а) додатнєдодатне, або буде протилежним вектором (якщо <math>k < 0</math>). Знайдемо кручення геодезичної <math>\boldsymbol{\varkappa}</math>:
: <math>(14) \qquad {d \mathbf{n} \over d s} = - k \boldsymbol{\tau} + \boldsymbol{\varkappa}</math>
: <math>(15) \qquad {d \mathbf{n} \over d s} = \mathbf{n}_i {d u^i \over d s} = \mathbf{n}_i \tau^i = - b^i_j \tau^j \mathbf{r}_i</math>
 
Запишемо спектральний розклад тензора <math>b_{ij}</math>, користуючись власними числами і векторами. В довільній системі координат маємо:
: <math>(25) \qquad b_{ij} = \sum_{s} k^{(s)} \tau^{(s)}_i \tau^{(s)}_j</math>
 
== Рівняння Петерсона-Кодацці ==
У правій частині формули (31) діагональні доданки з однаковими індексами (<math>p=s</math>) дорівнюють нулю, а недіагональні розбиваються на дві однакові за кількістю групи: доданки з <math>p < s</math>, і доданки з <math>p > s</math>. Тому формулу (31) можна переписати так:
: <math>(36) \qquad R_{ijkl} = \sum_{p < s} k^{(p)} k^{(s)} \sigma^{(ps)}_{ij} \sigma^{(ps)}_{kl}</math>
Із формули (36) і властивості [[Бівектор|бівекторабівектор]]а легко видно, що має виконуватися алгебраїчна тотожність Біанкі. Адже для будь-якого бівектора <math>\sigma){ij}</math> (орієнтованої площадки) маємо тотожність:
: <math>(37) \qquad \sigma_{ij} \sigma_{kl} + \sigma_{jk} \sigma_{il} + \sigma_{ki} \sigma_{jl} = 0</math>
 
: <math>(41a) \qquad R_{ii} = \sum_{j \ne i} R_{ijij} = k^{(i)} \sum_{j \ne i} k^{(j)}</math>
: <math>(42) \qquad R = \sum_{i, j \over i \ne j} k^{(i)} k^{(j)} = 2 \sum_{i < j} k^{(i)} k^{(j)}</math>
 
 
== Відображення в одиничну гіперсферу <math>\mathbb{S}^n</math> ==
 
Для кожної точки гіперповерхні <math> \mathbf{r} = \mathbf{r}(u^1, u^2, \dots u^n) </math> маємо одиничний вектор нормалі <math> \mathbf{n} = \mathbf{n}(u^1, u^2, \dots u^n) </math> (формула 3), який ми відкладемо від початку декартової системи координат в евклідовому <math>(n + 1)</math>-вимірному просторі. Кінець цього вектора (точка) лежить на гіперсфері одиничного радіуса. Задамось питанням, яким може бути на цій гіперсфері образ всієї нашої гіперповерхні.
 
Якщо наша гіперповерхня плоска, то її образом буде лише одна точка на гіперсфері. Образом циліндра або конуса буде лінія на гіперсфері (коло - для кругового циліндра чи конуса). В загальнішому випадку це буде деяка область на гіперсфері, яка може зокрема покривати і всю гіперсферу, навіть і неоднократно. Отже для замкнутого многовида ми маємо деяку цілочислену характеристику - скільки разів його образ покриває одиничну гіперсферу. Очевидно, що при малих деформаціях многовида ця характеристика не змінюється і є топологічним інваріантом гіперповерхні. Поставимо за мету вивести інтегральну формулу для обчислення цього інваріанта.
|рік=1969
|видавництво= Наука
|знаходження=Москва}}
 
[[Категорія:Диференціальна геометрія]]
42 924

редагування