Розкладання на прості дроби: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Рядок 56:
: <math>f(x)=1+2\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{x^2-4x+8}\right)</math>
=== Приклад 3 ===
Цей приклад демонструє майже всі можливі хитрощі, які могли б знадобитися в роз'ясненні [[Система комп'ютерної алгебри|СКА]].
: <math>f(x)=\frac{x^9-2x^6+2x^5-7x^4+13x^3-11x^2+12x-4}{x^7-3x^6+5x^5-7x^4+7x^3-5x^2+3x-1}</math>
Після [[ділення многочленів]] і [[Факторизація многочленів|факторизації]] знаменника, маємо
: <math>f(x)=x^2+3x+4+\frac{2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x}{(x-1)^3(x^2+1)^2}</math>
Розклад на прості дроби отримує таку форму
: <math>\frac{2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x}{(x-1)^3(x^2+1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}+\frac{Dx+E}{x^2+1}+\frac{Fx+G}{(x^2+1)^2}</math>
Множачи на (''x'' − 1)<sup>3</sup>(''x''<sup>2</sup> + 1)<sup>2</sup> переходимо до тотожних многочленів
: <math>
\begin{align}
& {} \quad 2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x \\
& =A(x-1)^2(x^2+1)^2+B(x-1)(x^2+1)^2+C(x^2+1)^2+(Dx+E)(x-1)^3(x^2+1)+(Fx+G)(x-1)^3
\end{align}
</math>
Беручи ''x'' = 1 отримуємо 4 = 4''C'', отже ''C'' = 1. Так само, беручи ''x'' = [[комплексне число|''i'']] отримуємо 2 + 2''i'' = (''Fi'' + ''G'')(2 + 2''i''), отже ''Fi'' + ''G'' = 1, звідси ''F'' = 0 і ''G'' = 1 через прирівнювання дійсних і уявних складових. З ''C'' = ''G'' = 1 і ''F'' = 0, беручи ''x'' = 0 ми отримуємо ''A'' − ''B'' + 1 − ''E'' − 1 = 0, таким чином ''E'' = ''A'' − ''B''.
Маємо тотожність
: <math>
\begin{align}
& {} 2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x \\
& = A(x-1)^2(x^2+1)^2+B(x-1)(x^2+1)^2+(x^2+1)^2+(Dx+(A-B))(x-1)^3(x^2+1)+(x-1)^3 \\
& = A((x-1)^2(x^2+1)^2 + (x-1)^3(x^2+1)) + B((x-1)(x^2+1) - (x-1)^3(x^2+1)) + (x^2+1)^2 + Dx(x-1)^3(x^2+1)+(x-1)^3
\end{align}
</math>
Розкриваючи дужки і сортуючи степені x отримуємо
: <math>
\begin{align}
& {} 2 x^6 -4 x^5 +5 x^4 -3 x^3 + x^2 +3 x \\
& = (A + D) x^6 + (-A - 3D) x^5 + (2B + 4D + 1) x^4 + (-2B - 4D + 1) x^3 + (-A + 2B + 3D - 1) x^2 + (A - 2B - D + 3) x
\end{align}
</math>
Тепер ми можемо порівняти коефіцієнти і побачити, що
: <math>
\begin{align}
A + D &=& 2 \\
-A - 3D &=& -4 \\
2B + 4D + 1 &=& 5 \\
-2B - 4D + 1 &=& -3 \\
-A + 2B + 3D - 1 &=& 1 \\
A - 2B - D + 3 &=& 3 ,
\end{align}
</math>
з ''A'' = 2 − ''D'' і −''A'' −3 ''D'' =−4 виходить, що ''A'' = ''D'' = 1 і з цього ''B'' = 0, далі ''C'' = 1, ''E'' = ''A'' − ''B'' = 1, ''F'' = 0 і ''G'' = 1.
Отже розклад на прості дроби для ''ƒ''(''x'') такий
: <math>f(x)=x^2+3x+4+\frac{1}{(x-1)} + \frac{1}{(x - 1)^3} + \frac{x + 1}{x^2+1}+\frac{1}{(x^2+1)^2}.</math>
Замість розкривання дужок, інші лінійні залежності коефіцієнтів можна було отримати через обчислення похідних у ''x=1'' і ''x=i'' в попередній поліноміальній тотожності. (Для цього згадаймо, що похідна в ''x=a'' від ''(x−a)<sup>m</sup>p(x)'' зникає якщо ''m > 1'' і є просто ''p(a)'' якщо ''m=1''.)
Отже, наприклад, перша похідна в ''x=1'' дає
: <math> 2\cdot6-4\cdot5+5\cdot4-3\cdot3+2+3 = A\cdot(0+0) + B\cdot( 2+ 0) + 8 + D\cdot0 </math>
тобто ''8 = 2B + 8'' отже ''B=0''.
== Посилання ==
| |||