Розкладання на прості дроби: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Рядок 16:
* [[числівник]] — многочлен меншого степеня ніж цей незвідний многочлен. Для зменшення степеня числівника напряму можна використати евклідове ділення многочленів, але якщо ''ƒ'' меншого степеня ніж ''g'' це не допоможе.
==
=== Приклад 1 ===
: <math>f(x)=\frac{1}{x^2+2x-3}</math>
Рядок 35 ⟶ 36:
: <math>f(x) =\frac{1}{x^2+2x-3} =\frac{1}{4}\left(\frac{-1}{x+3}+\frac{1}{x-1}\right)</math>
=== Приклад 2 ===
: <math>f(x)=\frac{x^3+16}{x^3-4x^2+8x}</math>
У висліді [[ділення многочленів]], ми маємо
: <math>f(x)=1+\frac{4x^2-8x+16}{x^3-4x^2+8x}=1+\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}</math>
Оскільки (−4)<sup>2</sup> − 4×8 = −16 < 0, множник ''x''<sup>2</sup> − 4''x'' + 8 є незвідним і розклад на прості дроби над полем дійсних чисел такий
: <math>\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-4x+8}</math>
Множачи на ''x''<sup>3</sup> − 4''x''<sup>2</sup> + 8''x'', отримуємо тотожність
: <math>4x^2-8x+16 = A(x^2-4x+8)+(Bx+C)x</math>
Беручи ''x'' = 0, ми бачимо, що 16 = 8''A'', отже ''A'' = 2. Порівнюючи коефіцієнти при ''x''<sup>2</sup> ми бачимо, що 4 = ''A'' + ''B'' = 2 + ''B'', отже ''B'' = 2. З порівняння лінійних коефіцієнтів ми бачимо, що −8 = −4''A'' + ''C'' = −8 + ''C'', отже ''C'' = 0. В підсумку,
: <math>f(x)=1+2\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{x^2-4x+8}\right)</math>
== Посилання ==
| |||