Користувач:Knu mechmat/Границя числової послідовності: відмінності між версіями
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 147:
{{example}} Візьмемо уже відому нам послідовність {''a''<sub>n</sub> = (-1)<sup>n</sup>, ''n'' ≥ 1.}. Ми знаємо, що {''a''<sub>n</sub>} = {-1; 1; -1; 1,…} —розбігається. Тому частковою границею буде ''A''<sub>r</sub>(''a''<sub>n</sub>) = {1; -1}.
</div>
{{Definition}} Нехай ''A'' — ''множина всіх часткових границь'' послідовності {''a''<sub>n</sub> | ''n'' ≥ 1}.
</div>
Рядок 153 ⟶ 156:
{{plain theorem|Больцано-Вейєрштрасса}} Будь-яка обмежена послідовність [[дійсні числа|дійсних чисел]] містить збіжну до [[дійсні числа|дійсного числа]] підпослідовність.
</div>
===Верхня та нижня границі послідовності===
{{Definition}} ''Нижньою границею послідовності'' називається величина
:<math> \varliminf_{n \to \infty}a_n = \inf A_r(a_n) </math>.
''Верхньою границею послідовності'' називається величина
:<math> \varlimsup_{n \to \infty}a_n = \sup A_r(a_n) </math>.
</div>
{{example}} Якщо послідовність {''a''<sub>n</sub> | ''n'' ≥ 1} збігається до ''a'', то
:<math> \varliminf_{n \to \infty}a_n = \varlimsup_{n \to \infty}a_n = a </math>.
</div>
| |||