Користувач:Knu mechmat/Границя числової послідовності: відмінності між версіями

Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування
Немає опису редагування
Рядок 134:
===Властивості підпослідовностей===
 
# Якщо послідовність обмежена, то будь-яка її підпослідовність також обмежена.
# Якщо послідовність збігається до ''a'' (можливо ''a'' = +∞ або ''a'' = -∞), то будь-яка її підпослідовність також збігається до ''a''.
# Нехай ''a''<sub>n</sub> &rarr; ''a'', ''n'' &rarr; &infin;; {''v(k)'' | ''k'' ≥ 1} ⊂ ''N'', ''v(k)'' &rarr; +&infin;, ''k'' &rarr; &infin;. Тоді ''a''<sub>v(k)</sub> &rarr; ''a'', ''k'' &rarr; &infin;.
 
===Поняття про часткові границі===
 
{{Definition}} [[Число]] ''a'' &isin; ''R'' називається ''частковою границею'' послідовності {''a''<sub>n</sub> | ''n'' ≥ 1}, якщо існує підпослідовність {''a''<sub>m(k)</sub> | ''k'' ≥ 1} така, що ''a''<sub>m(k)</sub> &rarr; ''a'', ''k'' &rarr; &infin;. Значення +&infin; (-&infin;) називається ''частковою границею'' послідовності {''a''<sub>n</sub> | ''n'' ≥ 1}, якщо існує підпослідовність {''a''<sub>m(k)</sub> | ''k'' ≥ 1} така, що ''a''<sub>m(k)</sub> &rarr; +&infin;, ''k'' &rarr; &infin; (''a''<sub>m(k)</sub> &rarr; -&infin;, ''k'' &rarr; &infin;).
</div>
 
{{denotation}} ''Часткову границю'' позначають так: ''A''<sub>r</sub> = ''A''<sub>r</sub>(''a''<sub>n</sub>).
</div>
 
{{example}} Візьмемо уже відому нам послідовність {''a''<sub>n</sub> = (-1)<sup>n</sup>, ''n'' ≥ 1.}. Ми знаємо, що {''a''<sub>n</sub>} = {-1; 1; -1; 1,&hellip;}&nbsp;—розбігається. Тому частковою границею буде ''A''<sub>r</sub>(''a''<sub>n</sub>) = {1; -1}.
</div>
 
{{plain theorem}} Будь-яка послідовність [[дійсні числа|дійсних чисел]] містить монотонну підпослідовність.
</div>
 
{{plain theorem|Больцано-Вейєрштрасса}} Будь-яка обмежена послідовність [[дійсні числа|дійсних чисел]] містить збіжну до [[дійсні числа|дійсного числа]] підпослідовність.
</div>
 
==Історія==