Користувач:Knu mechmat/Границя числової послідовності: відмінності між версіями
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 134:
===Властивості підпослідовностей===
# Якщо послідовність обмежена, то будь-яка її підпослідовність також обмежена.
# Якщо послідовність збігається до ''a'' (можливо ''a'' = +∞ або ''a'' = -∞), то будь-яка її підпослідовність також збігається до ''a''.
# Нехай ''a''<sub>n</sub> → ''a'', ''n'' → ∞; {''v(k)'' | ''k'' ≥ 1} ⊂ ''N'', ''v(k)'' → +∞, ''k'' → ∞. Тоді ''a''<sub>v(k)</sub> → ''a'', ''k'' → ∞.
===Поняття про часткові границі===
{{Definition}} [[Число]] ''a'' ∈ ''R'' називається ''частковою границею'' послідовності {''a''<sub>n</sub> | ''n'' ≥ 1}, якщо існує підпослідовність {''a''<sub>m(k)</sub> | ''k'' ≥ 1} така, що ''a''<sub>m(k)</sub> → ''a'', ''k'' → ∞. Значення +∞ (-∞) називається ''частковою границею'' послідовності {''a''<sub>n</sub> | ''n'' ≥ 1}, якщо існує підпослідовність {''a''<sub>m(k)</sub> | ''k'' ≥ 1} така, що ''a''<sub>m(k)</sub> → +∞, ''k'' → ∞ (''a''<sub>m(k)</sub> → -∞, ''k'' → ∞).
</div>
{{denotation}} ''Часткову границю'' позначають так: ''A''<sub>r</sub> = ''A''<sub>r</sub>(''a''<sub>n</sub>).
</div>
{{example}} Візьмемо уже відому нам послідовність {''a''<sub>n</sub> = (-1)<sup>n</sup>, ''n'' ≥ 1.}. Ми знаємо, що {''a''<sub>n</sub>} = {-1; 1; -1; 1,…} —розбігається. Тому частковою границею буде ''A''<sub>r</sub>(''a''<sub>n</sub>) = {1; -1}.
</div>
{{plain theorem}} Будь-яка послідовність [[дійсні числа|дійсних чисел]] містить монотонну підпослідовність.
</div>
{{plain theorem|Больцано-Вейєрштрасса}} Будь-яка обмежена послідовність [[дійсні числа|дійсних чисел]] містить збіжну до [[дійсні числа|дійсного числа]] підпослідовність.
</div>
==Історія==
|