Користувач:Knu mechmat/Границя числової послідовності: відмінності між версіями
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 104:
: <math>\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim \limits_{n \to \infty} a_n}{\lim \limits_{n \to \infty}b_n} </math>.
</div>
==Монотонні послідовності==
===Існування границі монотонної послідовності===
{{Definition}} Послідовність {''a''<sub>n</sub> | ''n'' ≥ 1} називається ''строго зростаючою'', якщо ∀ ''n'' ≥ 1 : ''a''<sub>n</sub> < ''a''<sub>n+1</sub>. Послідовність {''a''<sub>n</sub> | ''n'' ≥ 1} називається ''зростаючою (неспадною)'', якщо ∀ ''n'' ≥ 1 : ''a''<sub>n</sub> ≤ ''a''<sub>n+1</sub>. Послідовність {''a''<sub>n</sub> | ''n'' ≥ 1} називається ''строго спадною'', якщо ∀ ''n'' ≥ 1 : ''a''<sub>n</sub> > ''a''<sub>n+1</sub>. Послідовність {''a''<sub>n</sub> | ''n'' ≥ 1} називається ''спадною (незростаючою)'', якщо ∀ ''n'' ≥ 1 : ''a''<sub>n</sub> ≥ ''a''<sub>n+1</sub>. Послідовність, яка задовольняє хоча б одну із вищенаведених умов, називається ''монотонною''.
</div>
{{example}} Послідовність {1, 2, 3, 4,…, ''n'',…} є строго зростаючою, послідовність {1, 1, 2, 2, 3, 3,…, ''n'', ''n''…} зростаюча (неспадна), а послідовність {1, -1, 1, -1,…, (-1)<sup>n+1</sup>,…} не є монотонною.
</div>
{{plain theorem}} Монотонна і обмежена послідовність дійсних чисел має границю.
</div>
===Число ''е''===
==Історія==
| |||