Vlasenko D

Приєднався 11 травня 2013
4612 байтів вилучено ,  6 років тому
(Скасування редагування № 14074407 користувача Vlasenko D (обговорення))
 
<nowiki>{{Перекладена стаття|ru||Перекладено з російської Вікіпедії станом на 2014 року.}}</nowiki>
 
 
Розв'язати рівняння <math>3x=2 (\rm mod\ 7)</math>.
<math>x=\frac 23=\frac {2+7k}3</math>. Підбираємо ціле число <math>k</math>,
так щоб чисельник націло поділився на знаменник. Не складно побачити, що, <math>k=1</math>. Тоді
<math>x=\frac 23=\frac {2+7}3=\frac 93=3</math>.
Отже, <math>x=3</math>. Виконаємо перевірку: <math>3*3=9=9-7=2</math>.
 
 
 
Розв'язати рівняння <math>13x=2 (\textrm{mod}\ 53)</math>.
<math>x=\frac 2{13}=\frac {2+53k}{13}</math>. Треба підібрати ціле число <math>k</math>,
так щоб чисельник націло поділився на знаменник. Спростимо вираз:
<math>\frac {2+53k}{13}=\left|53=13*4+1\right|=\frac {2+(13*4+1)k}{13}=\frac {2+k}{13}+4k</math>
Не складно побачити, що, <math>k=11</math> або <math>k=-2</math>.
 
 
Тоді, якщо <math>k=-2</math>.
<math>x=\frac 2{13}==\frac {2-2}{13}+4*(-2)=-8=45</math>.
Отже, <math>x=45</math>. Виконаємо перевірку: <math>13*45=13*(-8)=-104=-104+53*2=2</math>.
 
Якщо <math>k=11</math>.
<math>x=\frac 2{13}==\frac {2+11}{13}+4*11=1+44=45</math>.
Розв'язати рівняння <math>2x^2-5x+3=0 (mod 11)</math>.
Рівняння розв'язується як звичайне квадратне рівняння - за допомогою
дискримінанту або теореми Віета. Обчислимо дискримінант:
<math>=b^2-4ac=5^2-4*3*2=25-12*2=25-(12-11)*2=23=1 (mod 11)</math>
<math>x_{1,2}=\frac {-b\pm \sqrt D}{2a}</math>
<math>x_{1,2}=\frac {5\pm \sqrt 1}{2*2}=\frac {5\pm 1}{4}</math>
<math>x_{1}=\frac {5- 1}{4}=1</math>
<math>x_{2}=\frac {5+ 1}{4}=\frac {3}{2}=\frac {3+11}{2}=7</math>
Виконаємо перевірку: <math>2*7^2-5*7+3=2*49-35+3=2*5-2+3=11=0</math>.
 
 
 
Розв'язати рівняння <math>3x^2-5x+4=0 (mod 13)</math>.
Рівняння розв'язується як звичайне квадратне рівняння - за допомогою
дискримінанту або теореми Віета. Обчислимо дискримінант:
<math>=b^2-4ac=5^2-4*3*4=25-3*16=25-3*3=16=3 (mod 13)</math>
Якщо існує <math>\sqrt 5 (mod 7)</math>, то це буде ціле число від 0 до 6.
Перевіримо, кожне з цих чисел на предмет того чи буде дорівнювати квадрат числа 3:
<math>12^2=(-1)^2=1</math> - не підходить
<math>11^2=(-2)^2=4</math> - не підходить
<math>10^2=(-3)^2=9</math> - не підходить
<math>9^2=(-4)^2=16=3</math> - підходить. Отже, <math>\sqrt 3 (mod 13)=\pm 4=\{4, 9\}</math>.
Обчислимо корені:
<math>x_{1,2}=\frac {-b\pm \sqrt D}{2a}</math>
<math>x_{1,2}=\frac {5\pm \sqrt 3}{2*3}=\frac {5\pm 4}{6}</math>
<math>x_{1}=\frac {5+4}{6}=\frac {9}{6}=\frac {3}{2}=\frac {3+13}{2}=8</math>
<math>x_{2}=\frac {5-4}{6}=\frac {1+13}{6}=\frac {14}{6}=\frac {7}{3}=
\frac {7-13}{3}=\frac {-6}{3}=-2=11</math>
Виконаємо перевірку по теоремі Вієта: <math>\frac {-5}{3}=-(11+8)?</math>
<math>5=3*(11+8)</math>
<math>5=3*6</math>
<math>5=5</math> - вірно
<math>\frac {4}{3}=11*8?</math>
<math>\frac {4}{3}=(11-13)*(8-13)</math>
<math>4=2*5*3</math>
<math>4=2*2</math> - вірно
 
 
 
 
Розв'язати рівняння <math>3x^2-2x+4=0 (mod 7)</math>.
Рівняння розв'язується як звичайне квадратне рівняння - за допомогою
дискримінанту або теореми Віета. Обчислимо дискримінант:
<math>=b^2-4ac=2^2-4*3*4=4-3*16=4-48=4-48+7*7=5 (mod 7)</math>
Якщо існує <math>\sqrt 5 (mod 7)</math>, то це буде ціле число від 0 до 6.
Перевіримо, кожне з цих чисел на предмет того чи буде дорівнювати квадрат числа 5:
<math>6^2=(-1)^2=1</math> - не підходить
<math>5^2=(-2)^2=4</math> - не підходить
<math>4^2=(-3)^2=2</math> - не підходить
Очевидно, що жодне число ціле число від 0 до 6 в квадраті не дорівнює 5. Отже, корінь з 5
не існує. Таким чином, квадратне рівняння не має розв'язків.
 
 
5</math>. Виконаємо перевірку: <math>13*45=13*(-8)=-80-24=</math>.
 
=== Решение линейного сравнения ===