Відмінності між версіями «Інтеграл Рімана»

→‎Методи обчислення інтегралів Рімана: додано приклади обчислення інтегралу Рімана за означенням
(→‎Класи інтегровних за Ріманом функцій: додано приклад з функцієї Діріхле)
(→‎Методи обчислення інтегралів Рімана: додано приклади обчислення інтегралу Рімана за означенням)
# даний інтеграл не існує, оскільки підінтегральна функція необмежена на відрізку [-1, 1];
# функція ''f''(''x'') розривна в точці ''x'' = 0, яка належить відрізку інтегрування, тому вона не має первісної на цьому відрізку.
</div>
 
=== Обчислення інтеграла Рімана за означенням ===
 
Безпосереднє обчислення визначеного інтеграла, виходячи з його означення (як границя інтегральних сум) зазвичай досить громіздке, однак все ж таки можливе.
 
{{example}} Обчислимо інтеграл
:<math> \int_{a} ^{b} \sin x\, dx. </math>
 
Покладемо ''f''(''x'') = sin ''x'', ''x'' ∈ [''a'', ''b'']. Оскільки ''f ''∈ ''C(''[''a'', ''b'']), то ''f ''∈ ''R(''[''a'', ''b'']), тому для обчислення інтегралу досить знайти границю довільної послідовності інтегральних сум. Розглянемо рівномірне розбиття λ<sub>''n''</sub> відрізку [''a'', ''b''] на ''n'' рівних частин, Δ''x'' = (''b'' − ''a'') / ''n,'' і запишемо інтегральну суму
: <math> \begin{align} S(f, \, \lambda_n, \, \{c_i|\lambda_n\}) & = \Delta x \sum_{k=1}^{n} \sin (a+k\Delta x) =
\\
& = \frac{\Delta x}{2\sin \frac{\Delta x}{2} } \sum_{k=1}^{n} 2\sin (a+k\Delta x) \sin \frac{\Delta x}{2} =
\\
& = \frac{\Delta x}{2\sin \frac{\Delta x}{2} } \sum_{k=1}^{n} \Big(\cos (a+k\Delta x-\frac{1}{2}\Delta x) - \cos (a+kh+\frac{1}{2}\Delta x)\Big) =
\\
& = \frac{\Delta x}{2\sin \frac{\Delta x}{2}} \Big(\cos (a+\frac{1}{2}\Delta x) - \cos (b+\frac{1}{2}\Delta x)\Big). \end{align}</math>
Спрямувавши |λ<sub>''n''</sub>| до нуля, отримаємо, що
: <math>\begin{align}
\int_{a} ^{b} \sin x\, dx & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{2\sin \frac{\Delta x}{2}} \Big(\cos(a+ \frac{1}{2}\Delta x) - \cos (b+ \frac{1}{2}\Delta x)\Big) =
\\
& = \cos b - \cos a. \end{align}</math>
</div>
 
{{example}} Обчислимо інтеграл
:<math> \int_{0} ^{1} e^x\, dx. </math>
 
Покладемо ''f''(''x'') = e<sup>''x''</sup>, ''x'' ∈ [0, 1]. Оскільки ''f ''∈ ''C(''[0, 1]), то ''f ''∈ ''R(''[''a'', ''b'']). Отже, у відповідності з критерієм Дарбу інтегровності функцій
 
: <math> \int_0^1 f(x) \, dx = \lim_{|\lambda_n| \rightarrow 0} s(f; \lambda_n), </math>
 
де λ<sub>''n''</sub> — рівномірне розбиття відрізка [0, 1] на ''n'' рівних частин. Отже, маємо
 
: <math> \begin{align}
s(f; \, \lambda_n) & = \sum_{i=0}^{n-1} e^\frac{i}{n} \cdot \frac{1}{n} =
\\
& = \frac{e-1}{e^\frac{1}{n}-1} \cdot \frac{1}{n},\end{align} </math>
 
звідки випливає, що
 
: <math> \begin{align}
\int_0^1 f(x) \, dx & = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{e-1}{e^\frac{1}{n}-1} \cdot \frac{1}{n} =
\\
& = e-1.
\end{align} </math>
</div>
 
{{example|неінтегровної обмеженої функції}} Покажемо, що функція Діріхле
 
: <math> D(x) := \begin{cases} 1, & x\in\Q \\ 0, & x\in\R \setminus\Q \end{cases}</math>
 
не інтегровна на довільному відрізку [''a'', ''b''] ⊂ ''R''. Тут ''Q'' — це множина раціональних чисел, а ''R'' — множина [[дійсні числа|дійсних чисел]].
 
На довільному відрізку [α, β] ⊂ ''R'' знайдуться як
раціональна, так і ірраціональна точки. Тому при довільному розбитті λ відрізка [''a'', ''b''] маємо
 
: <math>
s(f, \, \lambda) = 0, \qquad S(f, \, \lambda) = b - a,
</math>
 
звідки у відповідності з критерієм Дарбу інтегровності функції ''D'' ∉ ''R''([''a'', ''b'']).
</div>
 
334

редагування