Ідеальний газ: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Pavlo1 (обговорення | внесок) Скасовано останнє редагування (178.137.91.97) і відновлена версія 13065264 37.55.104.180 |
|||
Рядок 5:
:* Ідеальний квантовий газ [[Бозе Шатьєндранат|Бозе]] (складається з [[бозон]]ів). Див. [[статистика Бозе-Ейнштейна]].
:* Ідеальний квантовий газ [[Фермі]] (складається з [[ферміон]]ів). Див. [[статистика Фермі-Дірака]].
== Термодинаміка класичного ідеального газу ==
[[Термодинаміка|Термодинамічні]] властивості ідеального газу можна описати такими двома рівняннями:
Стан класичного ідеального газу описується [[рівняння стану ідеального газу|рівнянням стану ідеального газу]]:
: <math>PV = nRT = Nk_B T\,</math>
Внутрішня енергія ідеального газу описується наступним рівнянням:
: <math>U = \hat{c}_V nRT = \hat{c}_V Nk_B T</math>
де <math>\hat{c}_V</math> є [[константа|константою]] (рівною, наприклад, 3/2 для [[одноатомний газ|одноатомного газу]]) і
:* U — [[внутрішня енергія]] (вим. у [[джоуль|джоулях]])
:* P — [[тиск]] ([[Паскаль (одиниця СІ)|паскаль]])
:* V — [[об'єм]] ([[метр]] кубічний)
:* n — [[кількість речовини]] ([[моль]])
:* R — [[газова стала]] (джоуль на моль на [[градус Кельвіна]])
:* T — [[абсолютна температура]] (градуси Кельвіна)
:* N — кількість молекул
:* k<sub>B</sub> — [[стала Больцмана]] (джоуль на градус Кельвіна на молекулу)
Інші термодинамічні величини для одноатомного ідеального газу:
[[Вільна енергія]]:
:<math> F = -Nk_B T \left( \text{ln}\,\left[\frac{V}{N} \left( \frac{mk_B T}{2\pi\hbar^2} \right)^{3/2}\right] + 1 \right) </math>,
де m — [[маса]] [[атом]]а газу, <math> \hbar </math> — [[приведена стала Планка]].
[[Хімічний потенціал]]
:<math> \mu = k_B T \text{ln}\, \left[ \frac{N}{V} \left( \frac{2\pi \hbar^2}{m k_B T} \right)^{3/2} \right]</math>
== Термодинаміка Фермі-газу ==
{{Детальніше|Фермі-газ}}
[[Фермі-газ]] утворений з [[ферміон]]ів — частинок, які не можуть перебувати в станах із однаковими [[квантове число|квантовими числами]]. Ферміони підкоряються
[[статистика Фермі-Дірака|статистиці Фермі-Дірака]]. Прикладом ідеального Фермі-газу є [[електрон]]и в [[метал]]ах.
Рівняння стану Фермі-газу записується в параметричному вигляді
:<math> P = \frac{g\sqrt{2}m^{3/2}(k_B T)^{5/2}}{3\pi^2\hbar^3} \int_0^\infty \frac{z^{3/2}dz}{e^{z-\mu/k_B T}+1} \,</math>,
:<math> N = \frac{gVm^{3/2}}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3} \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{z}dz}{e^{z-\mu/k_B T}+1} </math>,
де параметром є величина хімічного потенціалу μ. Інші позначення в цій формулі: g — фактор виродження (2 для електронів, у яких [[спін]] 1/2),
<math> \hbar </math> — [[зведена стала Планка]]. Міняючи параметр μ і обчислюючи інтеграли, можна побудувати залежність тиску від
об'єму для будь-якої температури й будь-якого числа частинок.
При високих температурах Фермі-газ поводить себе аналогічно класичному газу. Перша поправка до рівняння стану має вигляд
:<math> PV = Nk_B T \left(1 + \frac{\pi^{3/2}}{2g} \frac{N\hbar^3}{V(m k_B T)^{3/2}} \right) </math>.
Таким чином, тиск при тому ж об'ємі для Фермі-газу збільшується завдяки зумовленому принципом Паулі відштовхуванню між частками.
При низьких температурах та високих густинах Фермі-газ стає '''виродженим''', і втрачає схожість із класичним ідеальним газом. Умова виродження задається
нерівністю
:<math> T \ll T_F =\frac{\hbar^2}{k_B m} \left( \frac{N}{V} \right)^{2/3} </math>.
Температура <math>T_F </math> називається '''температурою виродження'''.
При виконанні цієї умови рівняння стану ідеального електронного газу має вигляд:
:<math> P = \frac{(3\pi^2)^{2/3}}{5} \frac{\hbar^2}{m} \left( \frac{N}{V} \right)^{5/3}</math>.
Це рівняння справедливе також і для [[абсолютний нуль|абсолютного нуля температури]]. Тиск виродженого Фермі-газу не залежить від температури.
== Термодинаміка Бозе-газу ==
Ідеальний Бозе-газ скадається з [[бозон]]ів. Відмінність від класичного газу в тому, що бозони неможливо жодним чином відрізнити один він одного й
пронумерувати. Поведінка бозонів описується [[статистика Бозе-Ейнштейна|статистикою Бозе-Ейнштейна]]. Прикладом системи, яка складається з бозонів є світло.
Рівняння стану ідеального Бозе-газу записується у параметричному вигляді, який відрізняється від рівняння стану Фермі-газу лише знаком перед одиницею в знаменнику:
:<math> P = \frac{g\sqrt{2}m^{3/2}(k_B T)^{5/2}}{3\pi^2\hbar^3} \int_0^\infty \frac{z^{3/2}dz}{e^{z-\mu/k_B T}-1} \,</math>,
:<math> N = \frac{gVm^{3/2}}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3} \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{z}dz}{e^{z-\mu/k_B T}-1} </math>,
де хімічний потенціал <math>\mu \le 0 </math>.
При високих температурах Бозе-газ поводить себе подібно до класичного газу. Перша поправка до рівняння стану
:<math> PV = Nk_B T \left(1 - \frac{\pi^{3/2}}{2g} \frac{N\hbar^3}{V(m k_B T)^{3/2}} \right) </math>.
Тиск при тому ж об'ємі менший за тиск класичного газу, немов між частками Бозе-газу діє ефективне притягання.
При низьких температурах Бозе-газ вироджується, переходячи в [[конденсат Бозе-Ейнштейна|Бозе-конденсат]].
Для Бозе-конденсату рівняння стану записується у вигляді:
:<math> P =0,0851g \frac{m^{3/2} (k_B T)^{5/2}}{\hbar^3} </math>.
Тиск у ньому не залежить від об'єму.
== Див. також ==
* [[Ідеальна рідина]]
== Джерела ==
* {{cite book
|автор=Федорченко А.М.
|назва=Теоретична фізика. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика. Т.2.
|дата=
|рік=1993
|видавництво=Вища школа
|знаходження=Київ}}, 415 с.
* {{cite book
|автор=Ландау Л.Д., Лившиц Е.М.
|назва=Теоретическая физика. т. V. Статистическая физика. Часть 1.
|дата=
|рік=1976
|видавництво=Наука.
|знаходження=Москва}}
[[Категорія:Фізичні абстракції]]
| |||