Антисиметричне відношення: відмінності між версіями

доповнення
[неперевірена версія][неперевірена версія]
м (Перенесено 19 інтервікі-посилань до Вікіданих (Q583760))
(доповнення)
{{Шаблон:Властивості бінарних відношень}}
В [[математика|математиці]], [[бінарне відношення]] ''R'' на [[множина|множині]] ''X'' є '''антисиметричним''', коли для будь-яких ''a'' та ''b'' з ''X'', якщо ''a'' відноситься до ''b'' і ''b'' відноситься до ''a'', то ''a'' = ''b''.
 
Формально:
 
: <math>\forall a, b \in X,\ a R b \and b R a \; \Rightarrow \; a = b</math>
 
: <math>\forall a, b \in X,\ a R b \and a \ne b \Rightarrow \lnot R(b,a) .</math>
 
Зазвичай відношення порядку ≤ на множині дійсних чисел є антисиметричними: якщо для двох дійсних чисел ''x'' і ''y'' обидві нерівності ''x''&nbsp;≤&nbsp;''y'' і ''y''&nbsp;≤&nbsp;''x'' справджуютьсявиконуються, то ''x'' і ''y'' мають бути рівними. Крім того, підмножина порядку ⊆ на множині будь-якого набору антисиметрична: дано дві множини ''A'' і ''B'', якщо кожен елемент, що знаходиться в ''A'' також знаходиться в ''B'' і кожен елемент ''B'' також в ''A'', то ''A'' і ''B'' повинні містити однакові елементи , тоді:
 
: <math>A \subseteq B \and B \subseteq A \Rightarrow A = B</math>
 
[[Матриця]] антисиметричного відношення характеризується тим, що немає жодної пари одиниць на місцях, симетричних відносно головної діагоналі. У графі такого відношення можуть бути петлі, але зв'язок між вершинами, якщо він є, також відбувається тільки однією спрямованою дугою.
 
== Приклади ==
* Антисиметричним є відношення нестрогої нерівності на множині чисел, адже ''a'' ≤ ''b'' та ''b'' ≤ ''a'' одночасно можливо тоді й тільки тоді, коли ''a''=''b''.
* Антисиметричним відношенням на наборі множин буде відношення включення. Якщо, A⊆B та B⊆A, то A=B.
* Антисиметричним відношенням на підмножині [[Цілі числа|цілих чисел]] буде відношення ділення. Якщо, ''a'' ділить ''b'' та ''b'' діліть ''a'', то ''a'' = ''b''.
 
== Властивості ==
Існують відношення, які одночасно є ''симетричними'' та ''антисиметричними'': «дорівнює» (" <math>= \!</math> ").
 
Існують відношення які не є ані ''симетричними'', ані ''антисиметричними'': <!-- "«ділиться"» (" <math>\vdots \!</math> "). ??? -->
 
Існують відношення, які є ''симетричними'', але не ''антисиметричними'': відношення подібності (конгруенція).