Інтеграл Рімана: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Рядок 5:
Ріман формалізував поняття інтегралу, розроблене [[Ісаак Ньютон|Ньютоном]] та [[Ґотфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніцем]], як [[площа|площу]] фігури, яка обмежена [[графік функції|графіком функції]] та віссю [[абсциса|абсцис]]. Для цього він розглянув ступінчасті фігури, які складаються з великої кількості вертикальних [[прямокутник]]ів, отриманих при [[розбиття відрізка|розбитті відрізка]] інтегрування (див. Рис.).
Нехай функція ''f'' : [''a'', ''b'']→''R'' є [[неперервна функція|неперервною]] і невід'ємною на відрізку [''a'', ''b'']. Фігура, обмежена графіком цієї функції, [[відрізок|відрізком]] [''a'', ''b''] і прямими {''x = a''} та {''x = b''}, називається ''криволінійною трапецією''.
Обчислимо наближено [[площа|площу]] цієї трапеції.
# Розіб'ємо відрізок [''a'', ''b''] на ''n'' відрізків (''n'' ≥ 1): ''a'' = ''x''<sub>0</sub> < ''x''<sub>1</sub> < ''x''<sub>2</sub> < … < ''x''<sub>''k''</sub> < ''x''<sub>''k''+1</sub> < … < ''x''<sub>''n''−1</sub> < ''x''<sub>''n''</sub> = ''b''. Множина точок {''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>,…, ''x''<sub>''n''</sub>} називається ''розбиттям відрізку інтегрування'' і позначається як λ або λ([''a'', ''b'']).
Рядок 20:
'''Означення'''
''Діаметром'' (''розміром'', ''дрібністю'') ''розбиття'' λ = {''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>,…, ''x''<sub>''n''</sub>} називається число |λ| = max {Δ''x<sub>k</sub>'', 0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}.
'''Означення'''
Рядок 33:
<math> S = \lim_{|\lambda| \rightarrow 0} S(f, \, \lambda, \, \{c_i|\lambda\}) = \lim_{|\lambda| \rightarrow 0} \sum_{k=1}^{n} f(c_{k}) \Delta x_{k}.</math>
До обчислення границь такого типу приводять багато задач, наприклад, обчислення довжини пройденого шляху при прямолінійному русі за відомою [[швидкість|швидкістю]] ''v''(''t'') протягом часу від моменту ''t''<sub>1</sub> до ''t''<sub>2</sub>.
== Означення інтеграла Рімана==
|