Інтеграл Рімана: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
|||
Рядок 54:
== Властивості інтеграла Рімана ==
=== Властивості, пов'язані з проміжками інтегрування ===
* '''Орієнтовність інтеграла:''' має місце поняття інтеграла Рімана по відрізку «в зворотньому напрямку», а саме для ''a'' > ''b'' вважаємо, що
* '''Інтеграл по відрізку нульової довжини:''' має місце поняття інтеграла Рімана по відрізку нульової довжини, а саме для довільного ''a'' ∈ ''R'' вважаємо, що
: <math>\int\limits_a^b (\alpha f(x) +\beta g(x))\,dx = \alpha \int\limits_a^b f(x)\,dx + \beta \int\limits_a^b g(x)\,dx</math>▼
<math>\int_{a}^{a} f(x)\, dx = 0;</math>
▲: <math>\lim_{i\to\infty} \int\limits_a^b f_i(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx</math>
* '''Інтегровність на меншому відрізку:''' якщо ''f'' ∈ ''R''([''a'', ''b'']), то ''f'' ∈ ''R''([''c'', ''d'']) для довільного відрізку [''c'', ''d''] ⊂ [''a'', ''b''];
* '''Адитивність:''' якщо ''f'' ∈ ''R''([''a'', ''b'']) ∩ ''R''([''b'', ''c'']) (''a'' < ''b'' < ''c''), то ''f'' ∈ ''R''([''a'', ''c'']) і
<math>\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx;</math>
=== Властивості зі знаком рівності ===
В цьому підрозділі вважаємо, що {''a'', ''b''} ⊂ ''R'' — довільні.
<!-- це є вище
* '''Обмеженість:''' якщо ''f'' ∈ ''R''([''a'', ''b'']), то ''f'' — обмежена на [''a'', ''b''];
-->
* '''Невиродженість:''' для всіх {''a'', ''b''} ⊂ ''R'' має місце рівність
<math>\int_{a}^{b}1\, dx = b - a;</math>
* '''Лінійність:''' якщо {f, g} ⊂ ''R''([''a'', ''b'']), то для довільних {α, β} ⊂ ''R''([''a'', ''b'']) функція α''f'' + β''g'' ∈ ''R''([''a'', ''b'']) та
▲
* '''Граничний перехід під знаком інтеграла Рімана''': якщо ''f''<sub>''i''</sub> ∈ ''R''([''a'', ''b'']) [[рівномірна збіжність|рівномірно збігаються]] на [''a'', ''b''] до функції ''f'', то ''f'' ∈ ''R''([''a'', ''b'']) та
<math>\lim_{i\to\infty} \int_a^b f_i(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx</math>
=== Нерівності ===
В цьому підрозділі вважаємо, що ''a'' < ''b''.
* '''Невід'ємність:''' якщо ''f'' ∈ ''R''([''a'', ''b'']) та невід'ємна на [''a'', ''b''], то
<math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx \ge 0;</math>
* '''Нерівність інтегралів:''' якщо {f, g} ⊂ ''R''([''a'', ''b'']) та ''f''(''x'') ≤ ''g''(''x'') для всіх ''x'' ∈ [''a'', ''b''], то
<math>\int_{a}^{b}f(x)\, dx \leq \int_{a}^{b}g(x)\, dx;</math>
* '''Оцінка модуля інтеграла:''' якщо ''f'' ∈ ''R''([''a'', ''b'']), то |''f''| ∈ ''R''([''a'', ''b'']) та
<math>\left|\int_{a}^{b}f(x)\,dx \right|\leq \int_{a}^{b}|f(x)| \, dx.</math>
== Інтегровність за Ріманом функцій ==
| |||