Відмінності між версіями «Інтеграл Рімана»

нема опису редагування
м
'''Необхідною умовою інтегровності функції за Ріманом є її обмеженість:''' якщо функція ''f''(''x'') необмежена на відрізку [''a'', ''b''], то границя інтегральних сум для цієї функції буде рівна ∞.
 
== Властивості інтеграла Рімана ==
== Критерій Дарбу інтегровності функції ==
 
 
* '''Обмеження''': Якщо функція <math>f</math> інтегровна на відрізку <math>[a,b]</math>, то вона інтегровна й на меншому відрізку <math>[a_1,b_1]</math>, де <math>a\le a_1 < b_1\le b</math>.
* Якщо функція інтегровна на відрізку <math>[a,b]</math> та на відрізку <math>[b,c]</math>, то вона інтегровна і на відрізку <math>[a,c]</math>, і <math>\int\limits_a^c f(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx + \int\limits_b^c f(x)\,dx</math>.
* '''Лінійність''': Якщо функції <math>f</math> і <math>g</math> інтегровні, і <math>\alpha, \beta \in\R</math>, то функція <math>\alpha f + \beta g</math> також інтегровна, і
: <math>\int\limits_a^b (\alpha f(x) +\beta g(x))\,dx = \alpha \int\limits_a^b f(x)\,dx + \beta \int\limits_a^b g(x)\,dx</math>
* '''Границя''': Якщо інтегровні функції <math>f_i</math> [[рівномірна збіжність|рівномірно збігаються]] на відрізку <math>[a,b]</math> до функції <math>f</math>, то <math>f</math> інтегровна, і
: <math>\lim_{i\to\infty} \int\limits_a^b f_i(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx</math>
 
== Інтегровність за Ріманом функцій ==
=== Критерій Дарбу інтегровності функції ===
{{Докладніше|Критерій Дарбу}}
[[Файл:Darboux.svg|thumb|right|Суми Дарбу для розбиття на чотири інтервали: нижня (площа зеленого) і верхня (площа зеленого і сірого)]]
</math>
 
=== Класи інтегровних за Ріманом функцій ===
== Властивості ==
 
* Якщо функція <math>F</math> є [[первісна|первісною]] функції <math>f</math>, то інтеграл функції <math>f</math> на відрізку <math>[a,b]</math> можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца: він дорівнює <math>F(b)-F(a)</math>.
* Неперервна на відрізку функція інтегровна за Ріманом. Розривні функції можуть бути інтегровними, але можуть і не бути; прикладом функції, не інтегровної за Ріманом, є всюди розривна [[функція Діріхле]].
* '''Обмеження''': Якщо функція <math>f</math> інтегровна на відрізку <math>[a,b]</math>, то вона інтегровна й на меншому відрізку <math>[a_1,b_1]</math>, де <math>a\le a_1 < b_1\le b</math>.
* Якщо функція інтегровна на відрізку <math>[a,b]</math> та на відрізку <math>[b,c]</math>, то вона інтегровна і на відрізку <math>[a,c]</math>, і <math>\int\limits_a^c f(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx + \int\limits_b^c f(x)\,dx</math>.
* '''Лінійність''': Якщо функції <math>f</math> і <math>g</math> інтегровні, і <math>\alpha, \beta \in\R</math>, то функція <math>\alpha f + \beta g</math> також інтегровна, і
: <math>\int\limits_a^b (\alpha f(x) +\beta g(x))\,dx = \alpha \int\limits_a^b f(x)\,dx + \beta \int\limits_a^b g(x)\,dx</math>
* '''Границя''': Якщо інтегровні функції <math>f_i</math> [[рівномірна збіжність|рівномірно збігаються]] на відрізку <math>[a,b]</math> до функції <math>f</math>, то <math>f</math> інтегровна, і
: <math>\lim_{i\to\infty} \int\limits_a^b f_i(x)\,dx = \int\limits_a^b f(x)\,dx</math>
 
== Історія ==
334

редагування