Вікіпедія

Первісна: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
(Переглянути усі неперевірені зміни)
[неперевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Немає опису редагування
Немає опису редагування
Рядок 1:
[[Файл:Slope Field.png|thumb|Поле напрямків функції ''ƒ''(''x'') = (x<sup>3</sup>/3)-(x<sup>2</sup>/2)-x+c, на якому зображено три розв'язки, отримані шляхом варіювання довільної константи ''C''.]]
[[Функція]] <math>F(x)</math> зветься '''первісною''' функції <math>f(x)</math> на деякому [[Інтервал (математика)|інтервалі]] [[дійсні числа|дійсних чисел]], якщо <math>f(x)</math> &nbsp;— [[похідна]] функції <math>F(x)</math> на цьому інтервалі, тобто в усіх внутрішніх точках інтервалу виконується рівність
: <math>F'(x)=f(x). \!</math>
Можна довести, що у будь-якої [[неперервна функція|неперервної]] на інтервалі функції <math>f(x)</math> існує первісна, яка також є неперервною функцією на цьому інтервалі.
 
Якщо <math>F(x)</math> &nbsp;— будь-яка первісна функція <math>f(x),</math> то <math>F(x)+C</math>, де C -&nbsp;— довільна стала, &nbsp;— також первісна цієї функції і "«невизначений інтеграл функції <math>f(x)</math>"» посилається до множини <math>\{F(x)+C| C\in\mathbb{R}\},</math> яка складається з усіх первісних функції <math>f(x),</math> де <math>C</math> &nbsp;— довільна [[константа]].
 
== Опис ==
 
Надалі через ''J'' будемо позначати довільний непорожній [[інтервал (математика)#Вища математика|інтервал]] дійсних чисел (відкритий або замкнений, обмежений або необмежений).
 
'''Означення'''
Функція ''F(x)'' називається ''первісною'' (''примітивною'') для функції ''f(x)'' на інтервалі ''J'' дійсної вісі,
якщо ''f(x) = F'(x)'' для всіх ''x'' &isin; ''J''.
 
Нехай функція ''F''&nbsp;— первісна функції ''f'' на інтервалі ''J''. Тоді
* функція ''F(x) + C'' теж є первісною для ''f'' на ''J'', де ''C &isin; R''&nbsp;— довільна стала;
* будь-яка первісна для ''f'' на ''J'' може бути представлена у вигляді ''F(x) + C'', де ''C &isin; R''&nbsp;— довільна стала;
* функція ''F(x)'' є неперервною на інтервалі ''J''.
'''Приклад'''
Для функції ''y = 3x<sup>2</sup> '' первісними є функції ''F(x) = x<sup>3</sup>'', ''F(x) = x<sup>3</sup> + 5'', ''F(x) = x<sup>3</sup> − 6'' тощо (на довільному інтервалі ''J'').
 
Не всі функції мають первісну.
 
'''Приклад'''
Функція
 
<math>f(x) = \mathop{\mathrm{sign}}\, x =
\begin{cases}
-1, & x < 0,\\
0, & x = 0,\\
1, & x > 0,
\end{cases}
</math>
 
не має первісної на [[відрізок#Відрізок числової прямої|відрізку]] {{nowrap|<nowiki>[</nowiki>−1, 1<nowiki>]</nowiki>}}.<ref>Доведення див. в §&nbsp;5.1.1 в Дороговцев&nbsp;А.&nbsp;Я. ''Математический анализ''.&nbsp;— К. : Факт, 2004.&nbsp;— 560с.</ref>
 
'''Теорема''' Для довільної неперервної на деякому інтервалі ''J'' функції
''f'' існує первісна на цьому інтервалі.<ref>Доведення див. в п.&nbsp;183
Фихтенгольц&nbsp;Г.&nbsp;М. ''Основы математического анализа'' в 2 т. / Под ред. Головиной&nbsp;Л.&nbsp;И.&nbsp;— Москва : Наука, 196.&nbsp;— 1968.&nbsp;— Т.&nbsp;1.
</ref>
<!-->(див. \hreff{Основну теорему аналізу})<-->
 
== Нотація ==
Рядок 12 ⟶ 49:
{{Докладніше|Методи інтегрування}}
 
Знаходження первісної функції для заданої функції <math> f(x) \, </math> називається ''інтегруванням''. В загальному випадку для будь-якої фукнції, заданої за допомогою аналітичного виразу, не існує аналітичного виразу для первісної. Однак, є чимало випадків, коли первісну від функції можна виразити через елементарні функції. Існує два базові методи знаходження первісних: метод підстановки та метод інтегрування частинами.
 
=== Метод підстановки ===
В методі підстановки (заміни змінної) вводиться нова змінна, зв'язана із початковою змінною x певним співвідношенням. Якщо позначити цю змінну t, то співвідношення заміни змінної запишеться у вигляді <math>t = g(x) </math>. Відповідно, для диференціалів <math> dt = g^\prime(x) dx </math>. Тоді
: <math> \int f(x) dx = \int f(x) \frac{dt}{g^\prime(x)} </math>.
В цей вираз потрібно підставити змінну х через змінну t. Якщо підстановку вибрати правильно, то загальний вираз спроститься.
 
==== Приклад ====
Нехай потрібно взяти інтеграл
: <math>\int \frac{dx}{1+ e^{-x}} </math>.
 
Вводимо нову змінну <math> t = e^x </math>. Тоді <math> dt = e^x dx </math>. Інтеграл переписується
: <math>\int \frac{dx}{1+ e^{-x}} = \int \frac{dt}{e^x(1+ e^{-x})} = \int \frac{dt}{e^x+ 1} = \int \frac{dt}{t+ 1} = \text{ln } |t+1| + C =
\text{ln } |e^x +1| + C</math>
 
=== Метод інтегрування частинами ===
В цьому методі використовується властивість
: <math> \int udv = uv - \int v du </math>,
 
де u і v -&nbsp;— деякі диференційовані функції підінтегральної змінної. Вдале застосування цієї властивості дозволяє спростити інтегрування. В деяких випадках доводиться інтегрувати частинами кілька разів.[htpp://http://essuir.sumdu.edu.ua/handle/123456789/16542 Курс лекцій з математичного аналізу СумДу]▼
 
▲де u і v - деякі диференційовані функції підінтегральної змінної. Вдале застосування цієї властивості дозволяє спростити інтегрування. В деяких випадках доводиться інтегрувати частинами кілька разів.[htpp://http://essuir.sumdu.edu.ua/handle/123456789/16542 Курс лекцій з математичного аналізу СумДу]
==== Приклад ====
Нехай потрібно взяти інтеграл
: <math>\int x \cos x dx = \int x d(\sin x) = x \sin x - \int \sin x dx = x \sin x + \cos x + C </math>
 
== Див. також ==
* [[Похідна]]
* [[Таблиця інтегралів]]
* [[Невизначений інтеграл]]
 
== Примітки ==
{{reflist}}
 
== Література ==
 
* {{cite book
|автор = Г. М. Фихтенгольц
Рядок 50 ⟶ 92:
== Посилання ==
* [http://fizma.net/index.php?idi=alg/int Динамічні математичні моделі FIZMA.neT]
* [http://essuir.sumdu.edu.ua/handle/123456789/16542 Іваненко, О.&nbsp;О. &nbsp;Курс лекцій з математичного аналізу [Текст] : навч. посіб. / О.&nbsp;О. &nbsp;Іваненко, Т.&nbsp;В. &nbsp;Іваненко. -&nbsp;— Суми : СумДУ, 2011. -&nbsp;— 534 с.]
{{math-stub}}
 
Рядок 56 ⟶ 98:
[[Категорія:Інтегральне числення]]
[[Категорія:Математична термінологія]]
 
{{Link FA|km}}
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Первісна