Теорема Ліувілля про збереження фазового об'єму: відмінності між версіями

'''Теорема [[Ліувілль Жозеф Ліувілль|Ліувілля]]''' — - це твердженняключова втеорема [[КласичнаМеханіка механікаГамільтона|класичнійгамільтонової механіцімеханіки]], згідноі класичної статистичної фізики. Згідно з якимнею, функція розподілу ([[густина ймовірності]]) гамільтонової системи залишається постійною вздовж будь-якаякої траєкторії область у [[фазовий простір|фазовому просторі]], нетобто, змінюєдовільна свогообласть фазового простору зберігатиме свій об'ємуєм при еволюції [[Механіка_Гамільтона|Гамільтоновоїгамільтонової системи]].

Об'єм області в фазовому просторі визначається, як

: <math> \Gamma = \int \prod_i dq_i dp_i.</math>

Еволюція системи задається рівняннями Гамільтоновоїгамільтонової механіки. Тоді будь-яка довільно вибрана область в [[фазовий простір|фазовому просторі]] буде змінюватися й деформуватися з часом, але згідно з теоремою Ліувілля зберігатиме свій об'єм.

== Рівняння Ліувілля ==

Густина станів <math> \rho(q_i, p_i) </math> у фазовому просторі визначається як [[густина ймовірності]] Гамільтонової системи перебувати в точці <math> (q_i, p_i) </math> фазового простору.

: <math> \frac{d\rho}{dt} = 0</math>,

де береться так звана повна похідна.

Однак сама область деформується й міняє форму. Якщо ж цікавитися фіксованим об'ємом, то з плином часу одні траєкторії входитимуть у нього, інші -&nbsp;— виходитимуть. Баланс цих траєкторій призводить до '''рівняння Ліувілля'''

: <math> \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \{\rho, H\} </math>,

де H -&nbsp;— [[Механіка_Гамільтона|функція Гамільтона]], а {.,.} позначає [[дужки Пуассона|дужку Пуассона]].

== Джерела ==

* {{cite book

|знаходження=Київ}}, 516 с.