Вікіпедія

Ермітова матриця: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
[неперевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
мНемає опису редагування
мНемає опису редагування
Рядок 1:
[[Квадратна матриця]] <math>A \!</math> з [[комплексні числа|комплексними]] елементами називається '''ермітовою''' (на честь [[Ерміт Шарль|Шарля Ерміта]]) чи ''само-спряженою'', якщо вона дорівнює своїй [[ермітово-спряжена матриця|ермітово-спряженій матриці]], тобто
 
<math>A=A^* \!</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(або у фізичній нотації,: <math>A^+=A \!</math>).
 
Це еквівалентно до системи рівняннь <math>a_{ij}=\overline{a_{ji}}</math> для елементів матриці <math>A. \!</math>.
 
== Основні властивості ==
Матриця [[ермітів оператор|ермітова оператора]] в [[ермітів простір|ермітовому просторі]] відносно будь-якого [[ортонормальний базис|ортонормального базиса]] є ермітовою.▼
*Ермітова матриця є частковим випадком [[нормальна матриця|нормальних матриць]].
*Діагональні елементи ермітової матриці є [[дійсне число|дійсними числами]].
*[[Визначник]] ермітової матриці — дійсне число.
*Сума ермітових матриць є ермітовою матрицею.
*[[Обернена матриця]] до ермітової, якщо існує, то є ермітовою матрицею.
*Добуток ермітових матриць ''A'' і ''B'' є ермітовою матрицею тоді і тільки тоді, коли <math>AB = BA</math>.
*Всі [[власне значення матриці|власні значення]] ермітової матриці є дійсними часлами.▼
*З [[власний вектор|власних векторів]] ермітової матриці можна утворити [[ортонормована система|ортонормовану систему]].
▲*Матриця [[ермітів оператор|ермітова оператора]] в [[ермітів простір|ермітовому просторі]] відносно будь-якого [[ортонормальний базис|ортонормального базиса]] є ермітовою.
* Жорданова форма ермітової матриці [[дыагональна матриця|діагональна]].
 
== Додаткові властивості ==
▲Всі [[власне значення матриці|власні значення]] ермітової матриці є дійсними часлами.
Любу квадратну матрицю можна представити як суму деякої ермітової і антиермітової матриць:
:<math>A = {H+C}, \qquad H = \frac{1}{2}(A + A^+), \quad C = \frac{1}{2}(A - A^+),</math>
де:
:<math>H^+ = H \!</math>
:<math>C^+ = -C. \!</math>
 
== Приклад ==
<math>A=\begin{bmatrix}1 & 2-3i\\2+3i & 4\end{bmatrix}</math> — це ермітова матриця <math>2\times 2</math> матрицятому, тому що

<math>A^*=\begin{bmatrix}1 & 2-3i\\2+3i & 4\end{bmatrix}=A,</math> або
 
або <math>1=\bar{1},2-3i \quad 4=\overlinebar{2+3i4}, \quad 2+-3i=\overline{2-+3i}, 4=\bar{4}.</math>
 
{{math-stub}}
[[Категорія: Лінійна алгебра]]
[[Категорія: Теорія матриць]]
 
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Ермітова_матриця