Vlasenko D
Приєднався 11 травня 2013
Вилучено вміст Додано вміст
Рядок 147:
Аналогічним чином влаштована модель багатовимірного простору Лобачевського. Точками простору будуть [[Внутрішня точка|внутрішні точки]] кулі одиничного радіусу та точно так само, як і на площині задається відстань подвійним відношенням.
=== Модель Пуанкаре в кулі ===
[[Файл:Poincare_disc_hyperbolic_parallel_lines.svg|thumb|250px|left|Через точку площини проходять прямі, паралельні заданій прямій]]
Точками в моделі Пуанкаре в кулі <math>\Delta^n</math> будуть внутрішні точки кулі, а множиною нескінченно віддалених точок (абсолютом)
буде гранична сфера. Прямими в цій моделі будуть дуги кіл та відрізки, ортогональні абсолюту. Метричними сферами в цієї моделі будуть евклідові сфери, які
лежать в кулі <math>\Delta^n</math> (зауважимо, що взагалі центри сфер зміщені відносно центрів евклідових сфер).
Це конформна модель геометрії Лобачевського, тобто кут між кривими в цій моделі збігається з евклідовим кутом.
[[Перша квадратична форма|Перша фундаментальна форма]] простору Лобачевського в моделі Пуанкаре в кулі має вигляд<ref>Ефимов Н. В., с. 525</ref>
: <math> ds^2=\frac{4(dx_1^2+\dots+dx_n^2)}{(1-x_1^2-\dots-x_n^2)^2}.</math>
=== Модель Пуанкаре у верхній півплощині ===
Точками в моделі Пуанкаре у верхній півплощині <math>\H^n</math> будуть внутрішні точки півпростору <math>\H^n=\{(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n |\ x_n>0 \}</math>, а множиною нескінченно віддалених точок (абсолютом) буде гіперплощина <math>x=0 \cup \infty</math>. Прямими в цій моделі будуть
дуги кіл і промені ортогональні абсолюту. Метричними сферами в цієї моделі будуть
звичайні евклідові сфери.
[[Перша квадратична форма|Перша фундаментальна форма]] простору Лобачевського в моделі Пуанкаре у верхній півплощині має вигляд<ref>Бердон А., с. 118</ref>
: <math> ds^2=\frac{dx_1^2+\dots+dx_n^2}{x_n^2}.</math>
Як і модель Пуанкаре в кулі, це також конформна модель геометрії Лобачевського. Існує конформне перетворення, яке перетворює одну модель в іншу.
== Примітки ==
{{примітки}}
| |||