Vlasenko D
Приєднався 11 травня 2013
Вилучено вміст Додано вміст
Рядок 122:
content-style = color: black; text-align: left; |
}}
== Пісочниця ==
== Моделі геометрії Лобачевського ==
{{пишу}}
Моделлю геометрії Лобачевського називається поверхня або простір, в якому виконуються аксіоми геометрії Лобачевського.
Так як, всі реалізації геометрії Лобачевського ізоморфні<ref>Погорелов А. В., с. 84</ref>, тому твердження доведене в одній моделі геометрії Лобаческого, буде вірно в будь-якій іншій моделі. Тим самим для проведення міркувань можна щоразу вибирати найбільш «зручну» модель. Наприклад, в конформних моделях [[Пуанкаре Анрі|Пуанкаре]], кут між кривими дорівнює евклідовому куту.
=== Модель Клейна ===
[[Файл:Klein model.svg|thumb|240px|right|Прямі в моделі Клейна. Через точку ''P'' проходить нескінченно багато прямих, які не перетинають пряму ''a''.]]
Точками моделі Клейна є внутрішні точки [[круг]]а одиничного радіусу з центром у початку координат.
Відстань між точками <math>a</math> і <math>b</math> визначається визначається за допомогою подвійного відношення, а саме як
: <math> \frac 12\left|\ln {\left(\frac {x-a}{x-b}: \frac{y-a}{y-b}\right) }\right|</math>
для інтервалу <math>(x, y)</math>, де <math>x</math> і <math>y</math> — точки перетину прямої <math>ab</math> з граничною окружністю кола.
Зазначимо, що точки граничної окружності будуть нескінченно віддаленими точками площини Лобачевського. Граничну окружність називають абсолютом або ідеальною межею.
У моделі Клейна прямими є хорди кола<ref>Прасолов В. В., Тихомиров В. М., с. 184</ref>. Тому в цій моделі зручно розглядати питання пов'язані з [[Опукла множина|опуклими множинами]] геометрії Лобачевського.
[[Перша квадратична форма|Перша фундаментальна форма]] площини Лобачевського в моделі Клейна має вигляд<ref>Ефимов Н. В., с. 525</ref>
: <math> ds^2=\frac{(1-y^2)\,dx^2+2xy\,dx\,dy+(1-x^2)\,dy^2}{(1-x^2-y^2)^2}.</math>
Аналогічним чином влаштована модель багатовимірного простору Лобачевського. Точками простору будуть [[Внутрішня точка|внутрішні точки]] кулі одиничного радіусу та точно так само, як і на площині задається відстань подвійним відношенням.
== Примітки ==
| |||