Метод Адамса: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Addbot (обговорення | внесок) м Вилучення 4 інтервікі, відтепер доступних на Вікіданих: d:q1462003 |
|||
Рядок 28:
де порядок точності методу збігається з кількістю доданків у квадратних дужках.
На практиці, для користування цією формулою залежно від порядку точності, необхідно знати відповідну початкову послідовність значень f<sub>i</sub> (а значить і y<sub>i</sub>) у вузлах Х<sub>i</sub>. Для їх обчислення зазвичай використовують однокроковий метод (наприклад Рунге-Кутти) в початкових точках поблизу x<sub>0</sub>, а потім переходять до використання формули Адамса.
==Приклади==
Розглянемо такий приклад
: <math> y' = y, \quad y(0) = 1. </math>
Точним розв'язком є <math> y(t) = \mathrm{e}^t </math>.
===Однокроковий Ейлер===
Простим чисельним методом є метод Ейлера:
: <math> y_{n+1} = y_n + hf(t_n, y_n). \, </math>
Метод Ейлера можна розглядати як вироджений в однокроковий багатокроковий метод.
Цей метод, застосований з кроком розміру <math> h = \tfrac12 </math> на проблемі <math> y' = y </math>, дає такі висліди:
: <math> \begin{align}
y_1 &= y_0 + hf(t_0, y_0) = 1 + \tfrac12\cdot1 = 1.5, \\
y_2 &= y_1 + hf(t_1, y_1) = 1.5 + \tfrac12\cdot1.5 = 2.25, \\
y_3 &= y_2 + hf(t_2, y_2) = 2.25 + \tfrac12\cdot2.25 = 3.375, \\
y_4 &= y_3 + hf(t_3, y_3) = 3.375 + \tfrac12\cdot3.375 = 5.0625.
\end{align} </math>
===Двокроковий метод Адамса-Бешфорта===
Метод Ейлер однокроковий. Простий багатокроковий метод це двокроковий метод Адамса-Бешфорта ({{lang-en|Adams–Bashforth method}})
: <math> y_{n+2} = y_{n+1} + \tfrac32 hf(t_{n+1},y_{n+1}) - \tfrac12 hf(t_n,y_n). </math>
Цей метод для отримання наступного значення, <math> y_{n+2} </math>, потребує два значення, <math> y_{n+1} </math> і <math> y_n </math>. Однак, [[Задача Коші|задача з початковим значенням]] надає лише одне, <math> y_0 = 1 </math>. Один з підходів полягає у використанні <math> y_1 </math> обчисленого методом Ейлера як другого значення. З таким вибором, метод Адамса-Бешфорта видає (округлено до чотирьох цифр):
: <math> \begin{align}
y_2 &= y_1 + \tfrac32 hf(t_1, y_1) - \tfrac12 hf(t_0, y_0) = 1.5 + \tfrac32\cdot\tfrac12\cdot1.5 - \tfrac12\cdot\tfrac12\cdot1 = 2.375, \\
y_3 &= y_2 + \tfrac32 hf(t_2, y_2) - \tfrac12 hf(t_1, y_1) = 2.375 + \tfrac32\cdot\tfrac12\cdot2.375 - \tfrac12\cdot\tfrac12\cdot1.5 = 3.7812, \\
y_4 &= y_3 + \tfrac32 hf(t_3, y_3) - \tfrac12 hf(t_2, y_2) = 3.7812 + \tfrac32\cdot\tfrac12\cdot3.7812 - \tfrac12\cdot\tfrac12\cdot2.375 = 6.0234.
\end{align} </math>
Точний розв'язок при <math> t = t_4 = 2 </math> є <math> \mathrm{e}^2 = 7.3891\ldots </math>, отже двокроковий метод Адамса-Бешфорта точніший ніж метод Ейлера. Це завжди виконується якщо крок достатньо малий.
==Джерела==
* [http://www.phys.univ.kiev.ua/theory/pdf/rparmain.pdf ''Єжов С.М.'' Методи обчислень]
[[Категорія:Чисельні методи]]
[[Категорія:Обчислювальна математика]]
| |||