Спектр атома водню: відмінності між версіями

''Ця стаття присвячена енергетичному спектру атома водню. Якщо вас цікавлять інші властивості хімічного елемента, дивіться

[[ImageЗображення:Hydrogen.svg|thumb|180px|Протон оточений електронною хмарою]]

'''Атом водню''' - — найпростіший із [[атом]]ів [[хімічний елемент|хімічних елементів]].

Квантовомеханічна задача про дозволені енергетичні стани атома водню розв'язується точно. Зважаючи на цю обставину, [[хвильова функція|хвильові

функції]], отримані як [[власна функція|власні функції]] цієї задачі є базовими для розгляду решти елементів [[періодична система елементів|періодичної таблиці]]. Саме тому

== Гамільтоніан ==

До складу атома водню входить ядро з [[маса|масою]] M і [[заряд]]ом +e та електрон із зарядом -e. Взаємодія між ними - — [[закон Кулона|кулоніське притягання]].

[[Гамільтоніан]] атома водню має вигляд <ref>{{Gauss system}} </ref>

: <math> \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2M} \nabla_R^2 - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla_r^2 - \frac{e^2}{| \mathbf{R} - \mathbf{r}|} </math>,

де <math> \mathbf{R} </math> -&nbsp;— [[радіус-вектор]] ядра, а <math> \mathbf{r} </math> -&nbsp;— радіус-вектор електрона.

: <math> \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2M_C} \nabla_{R_C}^2 + \frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla_\rho^2 - \frac{e^2}{\rho} </math>,

де <math> M_c = M +m </math> -&nbsp;— сумарна маса електрона й ядра, <math> \mu = \frac{Mm}{M+m} </math> -&nbsp;— приведена маса електрона,

<math> \mathbf{R}_C </math> -&nbsp;— радіус-вектор центра мас, <math> \mathbf{\rho} = \mathbf{r} - \mathbf{R} </math> - &nbsp;— вектор, який сполучає

ядро з електроном.

Перший член у гамільтоніані описує поступальний рух атома водню, як цілого. Надалі його не розглядатимемо.

В сферичній системі координат гамільтоніан відносного руху електрона навколо ядра записується у вигляді:

: <math> \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial }{\partial \rho} \left( \rho^2 \frac{\partial }{\partial \rho} \right) -

\frac{\hat{L}^2}{2\mu\rho^2} - \frac{e^2}{\rho} </math> ,

де <math> \hat{L}^2 </math> -&nbsp;— [[оператор кутового моменту|оператор квадрату кутового моменту]].

== Власні функції і дозволені значення енергії ==

Власні функції гамільтоніана мають вигляд:

: <math> \psi_{nlm} = \tilde{\rho}^l e^{-\tilde{\rho}/2} L_{n+l}^{2l+1}(\tilde{\rho}) Y_{lm}(\theta, \varphi) </math>,

де <math> \tilde{\rho} = \frac{2\rho}{na_0} </math>, <math> a_0 </math> -&nbsp;— [[радіус Бора]], <math> L_i^j</math> -&nbsp;— [[поліноми Лагера]], <math> Y_{lm}(\theta, \varphi) </math> -&nbsp;— [[сферичні гармоніки]].

Функції характеризуються трьома цілими [[квантове число|квантовими числами]]

* n = 1,2,3... -3…&nbsp;— '''основне квантове число'''.

* l = 0..n-1 -&nbsp;— '''орбітальне квантове число'''.

* m = -l..l -&nbsp;— '''магнітне квантове число'''.

Крім того, електронні хвильові функції характеризуються ще одним квантовим числом -&nbsp;— [[спін]]ом, який з'являється при врахуванні

релятивістських ефектів. Спінове квантове число приймає значення <math> s_z = \pm 1/2</math>.

Власні значення гамільтоніана мають вигляд

: <math> E_n = - R \frac{1}{n^2} </math>,

де <math> R = \frac{\mu\alpha^2}{2\hbar^2} = \approx 13.6 </math> [[еВ]] -&nbsp;— константа (&alpha; -&nbsp;— [[стала тонкої структури]]).

Власті значення гамільтоніана відповідають можливим значення енергії атома водню. Вони залежать тільки від основного

квантового числа n. Кожен із енергетичних рівнів атома водню, крім першого, вироджений. Одному значеню енергії відповідає

n² можливих функцій, з врахуванням спіну 2n².

<ref> Це виродження є характерною особливістю атома водню. Для інших атомів рівні енергії

залежать як від основного кватового числа n, так і від орбітального квантового числа l. Залишається лише виродження

== Хвильова функція основного стану ==

В основному стані хвильова функція атома водню має вигляд:

: <math> \psi_{1s} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \left( \frac{Z}{a_0}\right)^{3/2} e^{-Z\rho/a_0} </math>,

де Z = 1 -&nbsp;— зарядове число для ядра атома водню.

== Неперервний спектр ==

== Оптичні переходи ==

[[ImageЗображення:Spectral lines of the hydrogen atom.svg|thumb|180px|Спектральні лінії атома водню]]

Згідно з положеннями квантової механіки (див. [[Золоте правило Фермі]]) при випромінюванні чи поглинанні світла квантовомеханічною

системою повинен виконуватися [[закон збереження енергії]]. Наприклад, при випромінюванні кванта світла, енергія атома водню

змінюється на величину <math> \hbar \omega </math>, де &omega; -&nbsp;— [[циклічна частота]] світа. Але енергія атома водню може мати

лише конкретні значення, визначені вище. Таким чином, атом водню в найнижчому основному стані не може випромінювати світло, бо

не може зменшити своєї енергії. Якщо атом водню перебуває в першому збудженому стані, то при випромінюванні він може перейти лише

стані може перейти лише в основновний стан і перший збуджений, тощо.

При поглинанні світла атомом водню відбуваються схожі процеси. Атом в основному стані має енергію <math> E_0 </math> і може перейти

Таким чином спектр поглинання й спектр випромінювання атома водню складається із серії тонких ліній, які згущаються до певної частоти,

а на вищих частотах переходить у неперервний, оскільки високоенергетичні збудження відповідають іонізації атома, при якій електрон,

[[Лінійчатий спектр]] атома водню складається з ліній поглинання із частотою, яка задається формулою

: <math> \hbar\omega = R\left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) </math>,

де n і m>n -&nbsp;— цілі числа. В спектрі виділяють

* [[серія Бальмера|серію Бальмера]], для якої n = 2.

* [[серію Брекета|серія Брекета]], n = 4.

== Тонка структура ==

[[ImageЗображення:Fine structure of Ly-alpha.svg|thumb|180px|Тонка структура рівнів з n =2. Ліворуч -&nbsp;— нерозщеплений рівень, який виникає в нерелятивістській теорії]]

Приведений розрахунок енергетичного спектру атома водню ґрунтувався на рівнянні Шредінгера, яке має той недолік, що воно не є

Лоренц-інваріантним, а, отже, не узгоджується з теорією відносності. Релятивістським аналогом рівняння Шредінгера є [[рівняння Дірака]].

Суттєва відмінність рівняння Дірака від рівняння Шредінгера в тому, що рівняння Дірака вводить поняття [[спін]]а. Таким чином, крім наведених

вище квантових чисел n, l, m, атом водню характеризується ще й спіном. Кількісні поправки, які вносить у енергетичний спектр атома

Однак, є суттєва якісна відмінність у оптичних спектрах. Ретельне вивчення оптичних спектрів показало, що лінії спектру розщеплюються

Як відомо, при врахуванні спіна, власні стани квантовомеханічних систем краще характеризувати не орбітальним квантовим числом l, а

квантовим числом повного моменту j. Енергія власних станів атома водню приблизно дорівнює

: <math> E_{n,j} = -\frac{R}{n^2} \left( 1 + \frac{\alpha^2}{n(j+1/2)} - \frac{3\alpha^2}{4n^2} + \dots \right) </math>,

де <math> \alpha = e^2/\hbar c</math> -&nbsp;— універсальна стала, яка отримала назву [[стала тонкої структури|сталої тонкої структури]].

Стала тонкої структури <math> \approx 1/137 </math> мала величина, а отже релятивістські поправки, яку пропорційні сталій

тонкої структури в квадраті, є дуже малими. Однак, енергетичні рівні із певним n розщеплються на кілька рівнів із різними j.

Наприклад, основний стан має l = 0, j = s = 1/2. Цей стан позначається 1S_1/2 <ref> Про те, як позначаються стани див. статтю

[[Електронні терми атомів]]</ref>. Він двократно вироджений і два можливі стани

== Лембів зсув ==

Приведений вище опис оптичних переходів у атомі водню не враховував квантової природи світла. При квантовомеханічному розгляді [[фотон]]и описуються рівняннями, аналогічними рівнянню [[гармонічний осцилятор|квантового гармонічного осцилятора]]. Важливим фізичним наслідком квантового розгляду світла є існування [[нульові коливання|нульових коливань]] навіть у тому випадку, коли кількість фотонів дорівнює нулю. Взаємодія квантовомеханічних систем із нульовими коливаннями призводить до [[спонтанне випромінювання|спонтанного випромінювання]], до невеличкого зсуву положення енергетичних рівнів і до скінченної ширини оптичних ліній.

Для атома водню це має наступні наслідки.

* Атом не може існувати нескінченно довго в збудженому стані. Рано чи пізно відбувається спонтанний перехід до основного стану з випромінюванням [[фотон]]а.

* Кожна оптична лінія має скінченну [[ширина оптичної лінії|ширину]].

* Рівні атома водню дещо змішуються зі своїх положень. Цей зсув, який отримав назву [[Лембів зсув|Лембового]], різний для різних станів. Так, наприклад, навіть із врахуванням тонкого розщеплення рівні 2S_1/2 і 2P_1/2 мають однакову енергію. Однак, врахування взаємодії з нульовими коливаннями [[електромагнітне поле|електромагнітного поля]] призводить до дуже малого розщеплення. Величина розщеплення дорівнює 1057,77(1) МГц. Таким чином, збуджений у стани з головним квантовим числом n = 2 атом водню поглинає [[радіочастотне випромінювання]] завдяки переходам між 2S_1/2 і 2P_1/2 рівнями.

== Атом водню в магнітному полі ==

{{Докладніше1|[[Ефектефект Зеемана]]}}

== Атом водню в електричному полі ==

Атом водню -&nbsp;— єдина квантовомеханічна система, в якій в слабких [[Електричне поле|електричних полях]] спостерігається лінійний ефект Штарка, тобто спектральні терми розщеплюються на компоненти, й величина розщеплення пропорційна [[електричне поле|електричному полю]]. Цей факт зумовлений виродженням ліній із різним значенням орбітального квантового числа l. Зовнішнє електричне поле частково знімає таке виродження.

== Воднеподібні серії рівнів ==

* Зв'язані з протоном [[мюон]]и. Мюони загалом схожі на електрони, але мають набагато більшу масу. Зв'язавшись із протонами вони утворюють воднеподібні атоми.

* [[Екситон Ваньє-Мотта|Екситони Ваньє-Мотта]] -&nbsp;— зв'язані стани електрона й дірки в напівпровідниках. Мають воднеподібну серію енергетичних станів.

== Примітки ==

== Джерела ==

* {{cite book

* {{cite book

* {{cite book

|знаходження=Москва}}

== Дивіться також ==

* [[Молекула водню]]