Спектр атома водню: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Kamelot (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
|||
Рядок 1:
''Ця стаття присвячена енергетичному спектру атома водню. Якщо вас цікавлять інші властивості хімічного елемента, дивіться
статтю [[гідроген]]''.
{{Кандидат в добрі статті}}
[[
'''Атом водню'''
Він складається з позитивно зарядженого [[ядро атома|ядра]], яке для основного ізотопу є просто [[протон]]ом і одного [[електрон]]а.
Квантовомеханічна задача про дозволені енергетичні стани атома водню розв'язується точно. Зважаючи на цю обставину, [[хвильова функція|хвильові
функції]], отримані як [[власна функція|власні функції]] цієї задачі є базовими для розгляду решти елементів [[періодична система елементів|періодичної таблиці]]. Саме тому
атом водню має велике значення для [[фізика|фізики]] й [[хімія|хімії]].
== Гамільтоніан ==
До складу атома водню входить ядро з [[маса|масою]] M і [[заряд]]ом +e та електрон із зарядом -e. Взаємодія між ними
[[Гамільтоніан]] атома водню має вигляд <ref>{{Gauss system}} </ref>
: <math> \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2M} \nabla_R^2 - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla_r^2 - \frac{e^2}{| \mathbf{R} - \mathbf{r}|} </math>,
де <math> \mathbf{R} </math>
При переході до системи координат, зв'язаної з [[центр інерції|центром мас]], гамільтоніан розбивається на два незалежні доданки.
: <math> \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2M_C} \nabla_{R_C}^2 + \frac{\hbar^2}{2\mu} \nabla_\rho^2 - \frac{e^2}{\rho} </math>,
де
<math> \mathbf{R}_C </math>
ядро з електроном.
Перший член у гамільтоніані описує поступальний рух атома водню, як цілого. Надалі його не розглядатимемо.
В сферичній системі координат гамільтоніан відносного руху електрона навколо ядра записується у вигляді:
: <math> \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{1}{\rho^2}\frac{\partial }{\partial \rho} \left( \rho^2 \frac{\partial }{\partial \rho} \right) -
\frac{\hat{L}^2}{2\mu\rho^2} - \frac{e^2}{\rho} </math> ,
де <math> \hat{L}^2 </math>
Гамільтоніан комутує із оператором квадрату кутового моменту, а тому має спільні з ним [[власна функція|власні функції]].
== Власні функції і дозволені значення енергії ==
[[Зображення:Electron orbitals.svg|thumb|300px|Тривимірна візуалізація атомних орбіталей]]
Власні функції гамільтоніана мають вигляд:
: <math> \psi_{nlm} = \tilde{\rho}^l e^{-\tilde{\rho}/2} L_{n+l}^{2l+1}(\tilde{\rho}) Y_{lm}(\theta, \varphi) </math>,
де <math> \tilde{\rho} = \frac{2\rho}{na_0} </math>, <math> a_0 </math>
Функції характеризуються трьома цілими [[квантове число|квантовими числами]]
* n = 1,2,
* l = 0..n-1
* m = -l..l
Крім того, електронні хвильові функції характеризуються ще одним квантовим числом
релятивістських ефектів. Спінове квантове число приймає значення <math> s_z = \pm 1/2</math>.
Власні значення гамільтоніана мають вигляд
: <math> E_n = - R \frac{1}{n^2} </math>,
де <math> R = \frac{\mu\alpha^2}{2\hbar^2} = \approx 13.6 </math>
Власті значення гамільтоніана відповідають можливим значення енергії атома водню. Вони залежать тільки від основного
квантового числа n. Кожен із енергетичних рівнів атома водню, крім першого, вироджений. Одному значеню енергії відповідає
n<sup>2</sup> можливих функцій, з врахуванням спіну 2n<sup>2</sup>.
<ref> Це виродження є характерною особливістю атома водню. Для інших атомів рівні енергії
залежать як від основного кватового числа n, так і від орбітального квантового числа l. Залишається лише виродження
відносно магнітного квантового числа m і спіну. Це виродження знімається зовнішнім магнітним полем.</ref>
== Хвильова функція основного стану ==
В основному стані хвильова функція атома водню має вигляд:
: <math> \psi_{1s} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \left( \frac{Z}{a_0}\right)^{3/2} e^{-Z\rho/a_0} </math>,
де Z = 1
== Неперервний спектр ==
Окрім дискретних рівнів з від'ємною енергією атом воню має нескінченне число станів з додатьою енергією, в яких хвильові функції нелокалізовані. Ці стани відповідають йонізованому атому.
== Оптичні переходи ==
[[
Згідно з положеннями квантової механіки (див. [[Золоте правило Фермі]]) при випромінюванні чи поглинанні світла квантовомеханічною
системою повинен виконуватися [[закон збереження енергії]]. Наприклад, при випромінюванні кванта світла, енергія атома водню
змінюється на величину <math> \hbar \omega </math>, де ω
лише конкретні значення, визначені вище. Таким чином, атом водню в найнижчому основному стані не може випромінювати світло, бо
не може зменшити своєї енергії. Якщо атом водню перебуває в першому збудженому стані, то при випромінюванні він може перейти лише
в основний стан. При цьому енергія випроміненого [[фотон]]а дорівнює різниці <math> E_1 - E_0 </math>. І так далі, атом у другому збудженому
стані може перейти лише в основновний стан і перший збуджений, тощо.
При поглинанні світла атомом водню відбуваються схожі процеси. Атом в основному стані має енергію <math> E_0 </math> і може перейти
в стани з енергією <math> E_n </math>. При цьому поглинаються виключно лише ті фонони, які мають енергії <math> \hbar\omega = E_n - E_0 </math>.
Таким чином спектр поглинання й спектр випромінювання атома водню складається із серії тонких ліній, які згущаються до певної частоти,
а на вищих частотах переходить у неперервний, оскільки високоенергетичні збудження відповідають іонізації атома, при якій електрон,
що відривається від ядра може мати довільну енергію.
[[Лінійчатий спектр]] атома водню складається з ліній поглинання із частотою, яка задається формулою
: <math> \hbar\omega = R\left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right) </math>,
де n і m>n
* [[серія Лаймана|серію Лаймана]], для якої n = 1. Ця серія розташована в [[ультрафіолет]]овій області [[спектр]]у й була отримана на експерименті вже після того, як [[Нільс Бор]] передбачив її існування.
* [[серія Бальмера|серію Бальмера]], для якої n = 2.
* [[серію Пашена|серія Пашена]], для якої n = 3. Серія Пашена лежить в [[інфрачервоне випромінювання|інфрачервоній області]] спектру.
* [[серію Брекета|серія Брекета]], n = 4.
* [[серію Пфунда|серія Пфунда]], n = 5.
== Тонка структура ==
[[
Приведений розрахунок енергетичного спектру атома водню ґрунтувався на рівнянні Шредінгера, яке має той недолік, що воно не є
Лоренц-інваріантним, а, отже, не узгоджується з теорією відносності. Релятивістським аналогом рівняння Шредінгера є [[рівняння Дірака]].
Суттєва відмінність рівняння Дірака від рівняння Шредінгера в тому, що рівняння Дірака вводить поняття [[спін]]а. Таким чином, крім наведених
вище квантових чисел n, l, m, атом водню характеризується ще й спіном. Кількісні поправки, які вносить у енергетичний спектр атома
водню релятивістський розгляд, невеликі, бо середня швидкість електрона у атомі водню мала порівняно із [[швидкість світла|швидкістю світла]].
Однак, є суттєва якісна відмінність у оптичних спектрах. Ретельне вивчення оптичних спектрів показало, що лінії спектру розщеплюються
на невеличкі серії. Це розщеплення отримало назву [[тонка структура|тонкої структури]].
Як відомо, при врахуванні спіна, власні стани квантовомеханічних систем краще характеризувати не орбітальним квантовим числом l, а
квантовим числом повного моменту j. Енергія власних станів атома водню приблизно дорівнює
: <math> E_{n,j} = -\frac{R}{n^2} \left( 1 + \frac{\alpha^2}{n(j+1/2)} - \frac{3\alpha^2}{4n^2} + \dots \right) </math>,
де <math> \alpha = e^2/\hbar c</math>
Стала тонкої структури <math> \approx 1/137 </math> мала величина, а отже релятивістські поправки, яку пропорційні сталій
тонкої структури в квадраті, є дуже малими. Однак, енергетичні рівні із певним n розщеплються на кілька рівнів із різними j.
Кожен такий рівень усе ще 2(2j+1) разів вироджений.
Наприклад, основний стан має l = 0, j = s = 1/2. Цей стан позначається 1S<sub>1/2</sub> <ref> Про те, як позначаються стани див. статтю
[[Електронні терми атомів]]</ref>. Він двократно вироджений і два можливі стани
відповідають різним проекціям спіна <math> s_z = \pm 1/2 </math>.
Рядок 135:
* Стани 2S<sub>1/2</sub> (j= 1/2, l = 0) і 2P<sub>1/2</sub> (j = 1/2, l=1), кожен із яких теж двократно вироджений.
== Лембів зсув ==
Приведений вище опис оптичних переходів у атомі водню не враховував квантової природи світла. При квантовомеханічному розгляді [[фотон]]и описуються рівняннями, аналогічними рівнянню [[гармонічний осцилятор|квантового гармонічного осцилятора]]. Важливим фізичним наслідком квантового розгляду світла є існування [[нульові коливання|нульових коливань]] навіть у тому випадку, коли кількість фотонів дорівнює нулю. Взаємодія квантовомеханічних систем із нульовими коливаннями призводить до [[спонтанне випромінювання|спонтанного випромінювання]], до невеличкого зсуву положення енергетичних рівнів і до скінченної ширини оптичних ліній.
Для атома водню це має наступні наслідки.
* Атом не може існувати нескінченно довго в збудженому стані. Рано чи пізно відбувається спонтанний перехід до основного стану з випромінюванням [[фотон]]а.
* Кожна оптична лінія має скінченну [[ширина оптичної лінії|ширину]].
* Рівні атома водню дещо змішуються зі своїх положень. Цей зсув, який отримав назву [[Лембів зсув|Лембового]], різний для різних станів. Так, наприклад, навіть із врахуванням тонкого розщеплення рівні 2S<sub>1/2</sub> і 2P<sub>1/2</sub> мають однакову енергію. Однак, врахування взаємодії з нульовими коливаннями [[електромагнітне поле|електромагнітного поля]] призводить до дуже малого розщеплення. Величина розщеплення дорівнює 1057,77(1) МГц. Таким чином, збуджений у стани з головним квантовим числом n = 2 атом водню поглинає [[радіочастотне випромінювання]] завдяки переходам
== Атом водню в магнітному полі ==
В зовнішньому [[магнітне поле|магнітному полі]] вироджені енергетичні рівні з різними магнітними квантовими числами m розщеплюються. Це розщеплення пропорційне прикладеному полю. Відповідним чином розщеплюються лінії у спектрах випромінювання та поглинання.
{{Докладніше1|[[
== Атом водню в електричному полі ==
Атом водню
{{Докладніше1|[[ефект Штарка]]}}
== Воднеподібні серії рівнів ==
Воднеподібні серії рівнів виникають в інших задачах квантової механіки. Серед них:
* Ізотопи водню: [[дейтерій]] та [[тритій]] мають енергетичні спектри, які відрізняються від спектра водню лише значенням приведеної маси. Ретельне вивчення оптичних переходів дозволяє перевірити справедливість основних формул.
* Йон [[гелій|гелію]] He<sup>+</sup> та йон [[літій|літію]] Li<sup>2+</sup>. Ці йони теж мають один електрон, але більший заряд ядра. Вивчаючи оптичні спектри цих йонів можна перевірити залаженість положення енергетичних рівнів від величини заряду.
* Зв'язані з протоном [[мюон]]и. Мюони загалом схожі на електрони, але мають набагато більшу масу. Зв'язавшись із протонами вони утворюють воднеподібні атоми.
* Воднеподібні домішкові рівні в [[напівпровідник]]ах. [[Донор]]и й [[акцептор]]и в напівпровідниках мають заряд, який відрізняється на одииницю від заряду сусідніх атомів. Проте завдяки великому значенню діелектричної проникності, [[електрон]]и чи [[дірка (квазічастинка)|дірки]] слабо притягаються до цих атомів. Радіуси електронних орбіт в напівпровідниках загалом простягаються на десятки періодів [[кристалічна ґратка|кристалічної ґратки]].
* [[Екситон Ваньє-Мотта|Екситони Ваньє-Мотта]]
== Примітки ==
<references/>
== Джерела ==
*
|автор=Білий М.У.
|назва=Атомна фізика
Рядок 173:
|знаходження=Київ}}
*
|автор=Юхновський І.Р.
|назва=Основи квантової механіки
Рядок 180:
|видавництво=Либідь
|знаходження=Київ}}
*
|автор=Ландау Л.Д., Лившиц Е.М.
|назва=Теоретическая физика. т. ІІІ. Квантовая механика. Нерелятивистская теория.
Рядок 186:
|рік=1974
|видавництво=Наука.
|знаходження=Москва}}
== Дивіться також ==
* [[Молекула водню]]
[[Категорія:Квантова механіка]]
|