Векторне поле: відмінності між версіями

'''Ве́кторне по́ле''' — векторнозначна [[функціяФункція (математика)|функція]], відображення, яке кожній точці даного простору ставить у відповідність [[вектор]]. У сучасній [[диференціальнаДиференціальна геометрія|диференціальній геометрії]] розглядається також узагальнення на довільні [[многовидМноговид|розмаїтості]]и.

Коли початковий простір — [[евклідівЕвклідів простір|евклідовий]] (cкінченовимірнийскінченновимірний [[векторний простір]] зі [[скалярнийСкалярний добуток|скалярним добутком]]), поняття векторного поля стає наочним, і тоді векторне поле інтерпретується як спосіб завдання рухів деякої [[динамічнаДинамічна система|динамічної системи]]: вектор ву даній точці описує напрям і швидкість руху точки по фазовій кривій.

Якщо вибрати декартову систему координат, то поле може бути представленеподане як:

Математичні операції над векторними полями вивчають у [[векторнийВекторний аналіз|векторному аналізі]].

Серед характеристик векторного поля <math>\mathbf{F}</math> відрізняють диференціальнідиференційні, що стосуються поведінки поля в окремих точках ([[Дивергенція (математика)|дивергенція]] <math>\operatorname{div}\mathbf{F}</math> і [[роторРотор (математика)|ротор]] <math>\operatorname{rot}\mathbf{F}</math>), та інтегральні, що описують поле вздовж контура ([[Циркуляція векторного поля|циркуляція]]) або крізь певну поверхню ([[потікПотік векторного поля|потік]]).

ДиференціальніДиференційні ій інтегральні характеристики векторного поля пов'язані між собою теоремами [[теоремаТеорема Гауса-Остроградського|Гауса]], [[Формула Остроградського|Остроградського]] та [[теоремаТеорема Стокса|Стокса]].

Для поля механічного походження, дивергенція ій потік характеризують наявність джерел таі стоків у полі, а ротор і циркуляція&nbsp;— обертальну здатність поля.

Чимало фізичних явищ, зокрема, в [[електродинаміка|електромагнітній теорії]] і [[гідродинаміка|гідродинаміці]] описуютьсяописують за допомогою векторних полів. Наведемо такі приклади:

* [[Поле швидкостей]] потоку рідини абочи газу в [[Гідродинаміка|гідродинаміці]].