Теорема Абеля — Руффіні: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
ZéroBot (обговорення | внесок) м r2.7.1) (робот додав: ca:Teorema d'Abel-Ruffini |
Kushel (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
||
Рядок 9:
== Теорія Галуа ==
[[Група Галуа]] описує [[група перестановок|групи перестановок]] <math>\ S_n</math> [[корінь многочлена|коренів многочленів]].
При <math>n \geq 5</math> група перестановок <math>\ S_n</math> не є [[розв'язна група|розв'язною.]]
== Доведення теореми ==
Нехай <math>\ y_1</math>
Позначимо <math>\ E = \Q(y_1, y_2, y_3, y_4, y_5),</math> тоді:
: <math>f(x) = (x - y_1)(x - y_2)(x - y_3)(x - y_4)(x - y_5) \in E[x].</math>
Відкривши дужки, отримаємо що <math>\ f(x)</math> є [[симетрична функція|симетричною функцією]] відносно <math>\ y_n,</math> оскільки коефіцієнтами многочлена будуть:
: <math>\ s_1 = y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5</math>
: <math>\ s_2 = y_1y_2 + y_1y_3 + \cdots + y_4y_5</math>
і так далі до
: <math>\ s_5 = y_1y_2y_3y_4y_5.</math>
Кожна перестановка <math>\ \sigma</math> групи <math>\ S_5</math> означає автоморфізм <math>\ \sigma'</math> на <math>\ E</math> що залишає <math>\Q</math> нерухомим та переставляє <math>\ y_n.</math> Оскільки від перестановки коренів многочлен не змінюється, отже <math>\ E</math> також є нерухомим, отже утворює групу Галуа
: <math>\ |G(E/F)| = |S_5|=5!</math>
Єдиним розкладом <math>\ S_5</math> є
: <math>\ S_5 \ge A_5 \ge \{e\}</math> (де <math>\ A_5</math>
[[
== Див. також ==
* [[Квадратне рівняння]]
* [[Кубічне рівняння]]
* [[Рівняння четвертого степеня]]
== Джерела ==
| |||