Поточкова збіжність: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
untagged isolated. |
Немає опису редагування |
||
Рядок 19:
Не існує [[топологія|топології]] на множині функцій, такої що поточкова збіжність функцій еквівалентна збіжності в цій топології. Доведемо це від супротивного. Дійсно, нехай така топологія існує. Розглянемо множину неперервних функцій і її [[замикання]] в цій топології. Це замикання містить всі поточкові границі неперервних функцій. Воно не містить [[функція Діріхле|функцію Діріхле]], бо поточкова границя неперервних функцій не може бути всюди розривна. З іншого боку, з цих функцій можна утворити послідовність, яка збігається поточково до функції Діріхле. Це суперечить тому що замикання множини в топологічному просторі є замкненим. Доведення завершене.
== Поточкова збіжність у просторах оснащених мірою ==
У [[вимірний простір|вимірних просторах]] вводиться поняття [[збіжність майже всюди|збіжності майже всюди]] - поточкова збіжність в усьому просторі, крім, можливо, множини міри 0. [[Теорема Єгорова]] стверджує, що з поточкової збіжності на множині скінченної [[міра множини|міри]] випливає [[рівномірна збіжність]] на множині міри, що як завгодно мало відрізняється від міри всього простору.
{{Без категорій|дата=січень 2013}}
| |||