|
Спостереження щодо аксіоми великих кардинальних чисел є лінійно впорядкована узгодженою силою, але це лише спостереження, а не [[Теорема|теорема]] (без прийнятого визначення великої кардинальної властивості воно не підлягає доведенню у звичайному сенсі).
Слід також зазначити, що порядок узгодженої сили не обов'язково збігається з порядком розміру найменшого прикладу великої кардинальної аксіоми. Наприклад, існування великого кардинального числа набагато сильніше, з точки зору узгодженості сил, ніж існування надкомпактного кардинального числа, але за умови, що обидва існують.
== Мотиви та статус ==
Великі кардинальні числа зрозумілі в контексті універсуму [[Джон фон Нейман|фон Неймана]], який побудований на трансфінітній ітераційній Powerset операції, яка збирає разом всі підмножини даної множини. Як правило, в моделях, в яких аксіома великих кардинальних чисел не підходить, можна побачити в деяких природним чином, як підмоделі ті, в яких аксіоми. Наприклад, якщо є недосяжне кардинальне число, то «розрізання Всесвіту вимкнено» в розпал першої такий кардинальний дає світ, в якому немає недосяжних кардинальних чисел. Або, якщо є вимірний кардинал, то ітерації визначаються операцією Powerset, а не повний один вихід конструктивних Всесвіту Геделя, який не задовольняє заяву, що існує вимірний кардинал (хоча воно містить вимірний кардинал, як порядковий).
Таким чином, з певної точки зору проведеної багатьма теоретиками набір аксіом великих кардинальних чисел «говорить», що ми розглядаємо всі множини, в той час як їх заперечення є «обмежувальними». Крім того, наслідки аксіом великих кардинальних чисел, потрапляють у природні.
Ця точка зору аж ніяк не є універсальною серед безлічі теоретиків. Деякі формалісти б стверджувати, що стандартна теорія множин за визначенням є вивчення наслідків теорія множин [[Теорія множин Цермело-Френкеля|Цермеля-Френкеля]], і, хоча вони не можуть бути в принципі проти вивчення наслідків інших систем, вони не бачать причин, щоб виділити великі кардинальні числа в якості бажаних. Є також реалісти, які заперечують, що онтологічний максималізм є правильною мотивацією, і навіть вважають, що аксіоми великих кардинальних чисел помилкові. І, нарешті, є ті, хто заперечує, що заперечення аксіом великих кардинальних чисел є обмежувальними.
== Джерела інформації ==
|
