Кардинальне число: відмінності між версіями

в обговоренні на рувікі сказано "Мощность множества и Кардинальные числа - разные по уровню сложности объекты."
[перевірена версія][перевірена версія]
(Перенаправлено на Потужність множини)
(в обговоренні на рувікі сказано "Мощность множества и Кардинальные числа - разные по уровню сложности объекты.")
'''Кардинальним числом''' (кардиналом) в [[теорія множин|теорії множин]] називається об'єкт, який характеризує [[потужність множини]]. Кардинальне число деякої множини ''A'' позначається як |''A''| або Card ''A''
#ПЕРЕНАПРАВЛЕННЯ [[Потужність множини]]
 
Для [[скінченна множина|скінченної множини]] A кардинальним числом |A| є [[натуральне число]], яким позначається кількість елементів цієї [[множина|множини]].
 
Для нескінченних множин кардинальне число є узагальненням поняття числа елементів.
 
Хоча кардинальні числа нескінченних множин не мають відображення в натуральних числах, але їх можна порівнювати:
 
Нехай ''A'' і ''B'' нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири випадки:
# Існує [[взаємно однозначна відповідність]] між ''A'' і ''B'', тобто ''A'' ~ ''B'' і |''A''|=|''B''|.
# Існує [[взаємно однозначна відповідність]] між множиною ''A'' і деякою [[підмножина|власною підмножиною]] ''B''' множини ''B''. Тоді кажуть, що [[потужність множини]] ''A'' не більша від потужності множини ''B'' і записують |''A''|≤|''B''|.
# Множина ''A'' рівнопотужна деякій підмножині множини ''B'' і, навпаки, множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто ''A''~''B' '' ⊆ ''B'' і ''B''~''A' '' ⊆ ''A''. За [[теорема Кантора-Бернштейна|теоремою Кантора-Бернштейна]], у цьому випадку виконується ''A'' ~ ''B'', тобто |''A''|=|''B''|.
# Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між собою.
Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись на [[аксіома вибору|аксіому вибору]], можна довести неможливість четвертого випадку.
 
Таким чином, потужності будь-яких двох множин ''A'' і ''B'' завжди порівнювані між собою. Отже, для кардинальних чисел |''A''| і |''B''| довільних множин ''A'' і ''B'' виконується одне з трьох співвідношень: |''A''|=|B|, |''A''|≤|''B''| або |''B''|≤|''A''|.
Якщо |A|≤|B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то |A|<|B|.
 
== Числа алеф ==
Кардинальне число множини '''N''' всіх натуральних чисел (зокрема, і будь-якої [[зліченна множина|зліченної множини]]) позначають через <math>\aleph_0</math> (читається «алеф-нуль»). Кардинальне число [[континуум|континуальних множин]] позначають ''c'' або <math>\aleph_1</math> («алеф-один»). Наступні кардинальні числа в порядку зростання позначають <math>\aleph_1, \aleph_2,\dots</math>. [[Кантор Георг|Г. Кантор]] довів, що не існує множини найбільшої потужності, тобто не існує найбільшого кардинального числа.
 
== Гіпотеза континуума ==
[[Континуум-гіпотеза]] стверджує, що не існує множини, кардинальне число <math>\aleph</math> якої розташоване між <math>\aleph_0</math> (кардиналом множини [[натуральне число|натуральних чисел]]) і <math>\aleph_1</math> (кардиналом множини [[дійсне число|дійсних чисел]]), тобто <math>\aleph_0</math> < <math>\aleph</math> < <math>\aleph_1</math>.
 
== Див. також ==
#ПЕРЕНАПРАВЛЕННЯ* [[Потужність множини]]
* [[Арифметика кардиналів]]
* [[Теорема Кантора-Бернштейна]]
* [[Континуум-гіпотеза]]
* [[Великі кардинальні числа]]
 
{{Quantity}}
 
[[Категорія:Теорія множин]]
[[Категорія:Математична термінологія]]
 
[[ar:عدد أصلي]]
[[bn:অঙ্কবাচক সংখ্যা]]
[[ca:Nombre cardinal]]
[[cs:Kardinální číslo]]
[[da:Kardinaltal]]
[[de:Kardinalzahl (Mathematik)]]
[[en:Cardinal number]]
[[eo:Povo de aro]]
[[es:Número cardinal]]
[[et:Kardinaalarv]]
[[eu:Zenbaki kardinal]]
[[fa:عدد اصلی]]
[[fr:Nombre cardinal]]
[[gl:Número cardinal]]
[[he:עוצמה (מתמטיקה)]]
[[hu:Kardinális szám]]
[[id:Bilangan kardinal]]
[[io:Kardinala nombro]]
[[is:Höfuðtala]]
[[it:Numero cardinale]]
[[ja:濃度 (数学)]]
[[ko:기수 (수학)]]
[[nl:Kardinaalgetal]]
[[nn:Kardinaltal]]
[[pt:Número cardinal]]
[[ru:Кардинальное число]]
[[simple:Cardinal number]]
[[sk:Kardinálne číslo]]
[[sl:Kardinalno število]]
[[sv:Kardinaltal]]
[[tr:Nicel sayı]]
[[zh:基数 (数学)]]
Анонімний користувач