Верхня та нижня межа: відмінності між версіями

[неперевірена версія][неперевірена версія]
Вилучено вміст Додано вміст
Olexiim (обговорення | внесок)
Olexiim (обговорення | внесок)
Рядок 42:
\forall a^', a^' > a \Rightarrow \exists x, x \in X \and x < a^'
\end{cases} (1.2) </math>
 
== Доведення ==
 
Для множини обмеженої зверху. Нехай <math>\tilde{b}=\tilde{b}_0, \tilde{b}_1 \dots \tilde{b}_n \dots </math> - мажоранта множини <math>~X</math>, представлена у вигляді [[Десятковий дріб|нескінченного десяткового дробу]]. Множина <math>~X</math> непорожня. Запишемо всі числа <math>~x</math> з <math>~X</math> у вигляді нормальних десяткових дробів,
: <math>~x=x_0,x_1\dots x_m \dots</math>.
 
Множина <math>~X_0=\{x_0\mid x_0,x_1\dots x_m \dots \in X\}</math> непорожня й обмежена згори числом <math>\tilde{b_0}</math>, через це існує <math>~\max X_0=b_0</math>.
 
Множина <math>~X_1</math> десяткових чисел вигляду <math>~b_0, b_1^'</math> таких, що серед елементів <math>~X</math> є число, подання котрого у вигляді нескінченного десяткового дробу починається з виразу
<math>~b_0, b_1^'</math>, не порожньо і складається не більше ніж з десяти елементів, тому існує <math>~X_1=b_0,b_1</math>.
 
Припустимо, що для деякого номера <math>~m</math> побудовано десяткове число <math>b_0,b_1\dots b_m</math> таке, що
# існує елемент <math>x \in X</math>, подання якого у вигляді нескінченної десяткового дробу починається з виразу <math>b_0,b_1\dots b_m</math>
# якщо x - елемент <math>~X</math> з поданням <math>x = x_0,x_1\dots x_m \dots</math>, то
::<math>x_0,x_1\dots x_m\leqslant b_0,b_1\dots b_m </math>.
 
Позначимо <math>~X_{m+1}</math> множину десяткових чисел виду <math>b_0,b_1\dots b_m b^'_{m+1}</math>, які служать початковими виразами для елементів множини <math>~X</math>. За означенням числа <math>b_0,b_1\dots b_m</math> на підставі властивості '''1''' множина <math>~X_{m+1}</math> непорожня. Воно скінченне, тому існує число <math>b_0,b_1\dots b_m b_{m+1}= \max X_{m+1}</math>, володіюче властивостями '''1-2''' с заміною <math>~m</math> на <math>~m+1</math>, до того ж поява <math>~(m+1)</math>-ого знаку після коми не впливає на величини попередніх знаків.
 
На підставі принципу [[Математична індукція|індукції]] для будь-якого <math>~n</math> виявляється визначенною цифра <math>~b_n</math> і тому однозначно визначається нескінченний десятковий дріб
: <math>b\equiv b_0,b_1 \dots b_n \dots \in \mathbb R</math>
 
Візьмемо довільне число <math>x \in X, x=x_0,x_1\dots x_n \dots</math>. За побудовою числа <math>b</math> для будь-якого номера <math>n</math> виконується <math>x_0,x_1\dots x_n\leqslant b_0,b_1\dots b_n </math>
і тому <math>x \leqslant b</math>. Отже, виконана верхній рядок у правій частині співвідношення'''1.1''' (дивися формулювання). Отже, <math>b= \sup X</math>.
 
Для множини <math>~X</math>, обмеженої знизу, міркування проводяться аналогічно.
 
== Властивості ==